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Mines-Ponts MP 2022 — Maths 2

Autour des exponentielles de matrices · 7 pages

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Le sujet établit d'abord que $\exp(t(A+B)) = \exp(tA)\exp(tB)$ pour tout $t$ réel si et seulement si $A$ et $B$ commutent, ainsi que $\det(\exp A) = \exp(\operatorname{tr} A)$ , puis démontre la formule de Trotter-Kato : $(\exp(A/k)\exp(B/k))^k$ tend vers $\exp(A+B)$ . Il introduit l'algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ , montre qu'elle est un sous-espace vectoriel stable par le crochet de Lie, et l'identifie à l'espace tangent en $I_n$ pour $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ (matrices de trace nulle) et $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ (matrices antisymétriques). Il étudie enfin le comportement de $\exp(tA)$ quand $t$ tend vers l'infini à l'aide de la décomposition de Dunford, et caractérise les sous-espaces stable, instable et neutre du système $X' = AX$ .

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — Questions préliminaires p. 2–3

Exponentielle de matrices · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Déterminants — exponentielle de matrices commutant, problème de Cauchy, norme sous-multiplicative, $\det(\exp A) = \exp(\operatorname{tr} A)$

Partie 2 — Formule de Trotter-Kato p. 3–4

Exponentielle de matrices · Équivalents et comparaison · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Développements limités — formule de Trotter-Kato, produit de Lie, télescopage, majoration en $O(1/k^2)$

Partie 3 — Vers les algèbres de Lie p. 4–5

Groupes de matrices · Exponentielle de matrices · Calcul différentiel · Matrices orthogonales et rotations · Espaces vectoriels et dimension · Algèbres et sous-algèbres — algèbre de Lie, crochet de Lie, espace tangent, $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ , groupe orthogonal, matrices antisymétriques, différentielle du déterminant

Partie 4 — Comportement asymptotique de $\exp(tA)$ p. 5–7

Exponentielle de matrices · Nilpotents, Jordan, Dunford · Systèmes différentiels linéaires · Stabilité des équilibres · Trigonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Équivalents et comparaison — décomposition de Dunford, sous-espaces caractéristiques, lemme des noyaux, stabilité asymptotique, sous-espaces stable instable neutre

Dans l'édifice

L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Théorème de Cauchy-Lipschitz local Applications linéaires continues et dual topologique Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Suites réelles et limites Dérivabilité Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Matrices d'une application linéaire Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Flot d'un champ de vecteurs Applications linéaires Anneaux de polynômes