ATLAS Ouvrir dans l'atlas →

AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Mines-Ponts PC 2012 — Maths 1

Le sinus lemniscatique · 6 pages

Sujet (PDF)

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet calcule la longueur de la lemniscate de Bernoulli, ce qui fait apparaître l'intégrale σ\sigma de 1/1−r41/\sqrt{1 - r^4} entre 00 et 11, puis définit le sinus lemniscatique sl\mathrm{sl} comme réciproque de FF prolongée par symétrie et périodicité. Il montre que sl\mathrm{sl} vérifie sl′′+2 sl3=0\mathrm{sl}'' + 2\,\mathrm{sl}^3 = 0, décrit toutes les solutions de cette équation à l'aide d'une intégrale première, introduit le cosinus lemniscatique et établit une formule d'addition, puis la formule de duplication de Fagnano.

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — La lemniscate de Bernoulli p. 2

Courbes et surfaces · Intégrales généralisées et intégrabilité — lemniscate de Bernoulli, équation polaire, tangentes à l'origine, abscisse curviligne, longueur d'un arc

Partie 2 — Le sinus lemniscatique p. 2–3

Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité · Formule de Stirling · Continuité · Dérivabilité · Séries numériques — sinus lemniscatique, constante lemniscatique, développement en série entière, formule de Stirling, fonction réciproque, prolongement par périodicité

Partie 3 — Équation différentielle p. 3–4

Équations différentielles non linéaires · Dérivabilité — équation différentielle non linéaire, intégrale première, solutions périodiques, zéros de la dérivée, borne inférieure

Partie 4 — Le calcul trigonométrique généralisé p. 4–5

Calcul différentiel · Équations différentielles non linéaires · Intégrale sur un segment — cosinus lemniscatique, formule d'addition, formule de Fagnano, dérivées partielles, intégrale elliptique, changement de variable

Dans l'édifice

Sous-variétés de ℝⁿEspace tangent à une sous-variétéFonctions intégrablesL'intégrale de Lebesgue prolonge celle de RiemannSéries entières et rayon de convergenceUne série entière est holomorpheLes fonctions holomorphes sont analytiquesIntégrale de RiemannContinuitéThéorème des valeurs intermédiairesThéorème de HeineDérivabilitéSuites, séries et parties compactes de ℂLa demi-droite achevée et les sommes positivesThéorème de Cauchy-Lipschitz localSolutions maximales et critère d'explosionLemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initialesFlot d'un champ de vecteursApplications différentiablesFonctions de classe CᵏInégalité des accroissements finisThéorème fondamental de l'analyse
Ouvrir dans l'atlas interactif →