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Mines-Ponts PC 2013 — Maths 2

Le rayon de Bohr · 5 pages

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Pour une série entière $h$ de rayon au moins $1$ , le sujet exprime les coefficients à l'aide des coefficients de Fourier de la partie réelle de $h(re^{i\theta})$ et en déduit le théorème de Bohr : si $|f(z)| \leqslant 1$ sur le disque unité, alors $\sum |b_n| |z|^n \leqslant 1$ pour $|z| < 1/3$ . Les fonctions $(z - \lambda)/(1 - \lambda z)$ montrent que la constante $1/3$ est optimale. Une dernière partie, fondée sur une formule de type Parseval et la positivité d'une matrice $2\times 2$ , établit une estimation $\sum |b_n| |z|^n \leqslant m(|z|)$ valable au-delà de $1/3$ .

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — Séries entières p. 2–3

Séries entières · Séries de Fourier · Analyse complexe · Nombres complexes — coefficients de Fourier, partie réelle d'une série entière, intégration terme à terme, majoration des coefficients, rayon $1/3$

Partie 2 — Le rayon de Bohr p. 3

Séries entières · Analyse complexe · Fractions rationnelles — rayon de Bohr, théorème de Bohr, automorphisme du disque, optimalité d'une constante, fonction bornée sur le disque unité

Partie 3 — Au-delà de $|z| = 1/3$ p. 4–5

Séries entières · Formule de Parseval · Matrices symétriques positives · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Espaces vectoriels normés · Extrema et optimisation · Inégalité de Cauchy-Schwarz — formule de Parseval, produit de Cauchy, matrice positive, adjoint, majoration des coefficients, estimation de Bohr raffinée

Mines-Ponts PC 2013 — Maths 2

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — Séries entières p. 2–3

Partie 2 — Le rayon de Bohr p. 3

Partie 3 — Au-delà de ∣z∣=1/3|z| = 1/3 p. 4–5

Dans l'édifice

Partie 3 — Au-delà de $|z| = 1/3$ p. 4–5