AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Mines-Ponts PC 2021 — Maths 1

Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion · 6 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : archive officielle (ZIP)

On considère des variables aléatoires entières symétriques, indépendantes et de même loi, dont la queue vérifie $P(|X| \geqslant n) = \alpha/n + O(1/n^2)$ ; elles n'ont pas d'espérance. Après le calcul des sommes des séries de $\cos(n\theta)/n$ et $\sin(n\theta)/n$ par une intégrale à paramètre, le sujet montre que la fonction caractéristique $\Phi_X(t) = E(\cos(tX))$ vérifie $\Phi_X(t) = 1 - \pi\alpha t/2 + o(t)$ en $0^+$ , puis que la fonction caractéristique de la moyenne empirique $M_n$ converge simplement vers $\exp(-\pi\alpha|t|/2)$ , celle d'une loi de Cauchy.

Le sujet, partie par partie

Présentation, questions de cours et généralités sur les variables aléatoires p. 2–3

Espérance, variance, moments · Couples et sommes de variables aléatoires · Variables aléatoires et lois usuelles — variable aléatoire symétrique, espérance finie, variable bornée, dispersion d'ordre $\alpha$ , indépendance

Deux sommes de séries p. 3–4

Intégrales à paramètre · Séries numériques · Dérivabilité · Nombres complexes · Interversion des limites — formule de Taylor avec reste intégral, série de $\cos(n\theta)/n$ , série de $\sin(n\theta)/n$ , dérivation sous l'intégrale, logarithme

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire symétrique p. 4–5

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire · Développements asymptotiques · Espérance, variance, moments · Séries numériques · Continuité · Dérivabilité — fonction caractéristique, théorème de transfert, transformation d'Abel, développement en $0$ , dérivabilité en $0$

Convergence simple des fonctions caractéristiques des moyennes empiriques p. 5–6

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire · Lois des grands nombres et théorèmes limites · Couples et sommes de variables aléatoires · Convergence uniforme et normale · Équivalents et comparaison — moyenne empirique, loi de Cauchy, convergence en loi, fonction caractéristique d'une somme, convergence non uniforme

Dans l'édifice

Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Dérivabilité Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Une série entière est holomorphe Fonctions caractéristiques des variables aléatoires Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Suites réelles et limites