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Mines-Ponts PC 2022 — Maths 2

Le théorème matriciel de Kreiss · 7 pages

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Le sujet étudie les matrices $M$ dont les puissances sont bornées en norme d'opérateur, de borne $b(M)$ , et les compare à la quantité $b'(M) = \sup (|z| - 1)\|(zI_n - M)^{-1}\|$ sur $|z| > 1$ . Après l'étude de la résolvante (série de Neumann, coefficients fractions rationnelles de dénominateur $\chi_M$ ) et d'une représentation intégrale de $X^\top M^k Y$ , il établit l'inégalité de Spijker $V(f) \leqslant 2\pi n\|f\|_\infty$ sur la variation totale d'une fraction rationnelle de degré $n$ restreinte au cercle, et en déduit le théorème de Kreiss sous la forme $b(M) \leqslant \mathrm{e} \cdot n \cdot b'(M)$ .

Le sujet, partie par partie

1. Norme d'opérateur sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et 2. L'ensemble $\mathcal{B}_n$ p. 2–3

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Compacité · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Trigonalisation — norme d'opérateur, puissances bornées, valeurs propres dans le disque unité, matrice triangulaire, sphère unité

3. Résolvante d'un élément de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ p. 3–4

Séries entières · Fractions rationnelles · Diagonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Séries de Fourier · Normes subordonnées et applications linéaires continues — résolvante, série de Neumann, polynôme caractéristique, coefficients de Fourier, représentation intégrale de $M^k$

4. Variation totale et norme uniforme p. 5

Intégrale sur un segment · Dérivabilité · Normes équivalentes — variation totale, norme uniforme, absence de majoration $V(f) \leqslant C\|f\|_\infty$ , points critiques, fonction indicatrice, nombre d'antécédents $N(y)$

5. L'inégalité de Spijker p. 5–7

Fractions rationnelles · Intégrale sur un segment · Racines et relations coefficients-racines · Nombres complexes · Interversion des limites — inégalité de Spijker, fraction rationnelle sans pôle sur le cercle, variation totale, formule d'Euler, Fubini

6. La version de Spijker du théorème de Kreiss p. 7

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Fractions rationnelles · Inégalités classiques · Intégrale sur un segment — théorème matriciel de Kreiss, résolvante, intégration par parties, constante $\mathrm{e} \cdot n$