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Mines-Ponts PC 2026 — Maths 2

Solutions périodiques d'équations différentielles · 7 pages

On étudie l'équation $y'' + b(x) y = c(x)$ avec $b$ et $c$ continues $2\pi$ -périodiques, et la question de savoir si une solution bornée est périodique. Le cas $y'' + \vartheta^2 y = \cos x$ est traité selon que $\vartheta$ est rationnel ou non, puis $b = -(1 + \cos x)$ via la convexité de $g^2$ , avant un résultat d'existence par séries de sinus et un théorème général fondé sur la compacité et les moyennes de Cesàro.

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — Généralités p. 2–3

Équations linéaires d'ordre 2 · Équations différentielles linéaires — solution bornée, solution périodique, opérateur de translation, équation différentielle linéaire du second ordre

Partie 2 — L'équation $y'' + \vartheta^2 y = \cos x$ p. 3–4

Équations linéaires d'ordre 2 · Irrationalité et approximation diophantienne · Déterminants — variation de la constante, $\vartheta$ irrationnel, $\vartheta$ rationnel, périodicité des solutions

Partie 3 — Le cas $b = -(1 + \cos x)$ p. 4–5

Équations linéaires d'ordre 2 · Fonctions convexes — fonction convexe, unicité de la solution bornée, carré d'une solution

Partie 4 — Un résultat d'existence p. 5–6

Séries de Fourier · Applications linéaires et rang · Équations linéaires d'ordre 2 · Interversion des limites · Espaces vectoriels et dimension · Séries numériques — série de sinus, polynômes trigonométriques, famille libre, somme directe, image d'un opérateur

Partie 5 — Théorème général p. 6–7

Compacité · Équations linéaires d'ordre 2 · Espaces vectoriels normés — dimension finie, fermé borné, borne inférieure atteinte, moyennes de Cesàro

Dans l'édifice

Systèmes linéaires et exponentielle de matrices ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure Un corps ordonné complet est archimédien Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Dérivabilité Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Applications linéaires Théorème du rang Une série entière est holomorphe Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Compacité Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique