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Mines-Ponts PSI 2026 — Maths 2

Probabilité qu'un entier choisi au hasard dans $[\![1;n]\!]$ soit sans facteur à la puissance $k$ · 8 pages

Le sujet calcule $\sum 1/(n^2+x^2)$ à l'aide de la série $\sum \cos(nt)/n^2$ et d'une équation différentielle, en déduit le développement en série entière de $x/(e^x - 1)$ et les valeurs de $\zeta(2k)$ au moyen des nombres de Bernoulli. Il exprime ensuite par la formule du crible et la fonction de Möbius la probabilité $q_n(k)$ qu'un entier de $[\![1;n]\!]$ soit sans facteur puissance $k$ -ième, et montre que $q_n(k)$ tend vers $1/\zeta(k)$ .

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — La série $\sum 1/(n^2 + x^2)$ p. 2–3

Suites et séries de fonctions · Équations linéaires d'ordre 2 · Séries de Fourier · Convergence uniforme et normale · Interversion des limites · Intégrale sur un segment · Nombres complexes — série $\sum \sin(k\theta)/k$ , série $\sum \cos(nt)/n^2$ , série $\sum 1/(n^2 + x^2)$ , fonction Arctan, équation $g'' - x^2 g = -S$

Partie 2 — Développement en série entière de $x/(e^x - 1)$ p. 3–4

Séries entières · Fonction zêta de Riemann · Polynômes et nombres de Bernoulli · Familles sommables et produit de Cauchy — nombres de Bernoulli, $\zeta(2k)$ , $\zeta(2)$ , $\zeta(4)$ , développement en série entière

Partie 3 — Probabilité d'être sans facteur puissance $k$ -ième p. 5–7

Formule du crible et dérangements · Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius · Espaces probabilisés · Convergence dominée · Nombres premiers · Séries numériques — formule du crible, fonction de Möbius, entiers sans facteur puissance $k$ -ième, indicatrices, partie entière, convergence dominée

Partie 4 — Produit de Dirichlet et limite $1/\zeta(k)$ p. 7–8

Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius · Séries de Dirichlet · Fonction zêta de Riemann · Familles sommables et produit de Cauchy — produit de Dirichlet, fonction de Möbius, $\sum \mu(i)/i^s = 1/\zeta(s)$ , probabilité limite

Dans l'édifice

Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques La fonction zêta de Riemann et son prolongement Anneaux de polynômes La demi-droite achevée et les sommes positives Ensembles finis et principe des tiroirs Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1 Théorème fondamental de l'arithmétique Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Théorème de convergence dominée Suites, séries et parties compactes de ℂ Sommation d'Abel et intégrales impropres

Mines-Ponts PSI 2026 — Maths 2

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — La série ∑1/(n2+x2)\sum 1/(n^2 + x^2) p. 2–3

Partie 2 — Développement en série entière de x/(ex−1)x/(e^x - 1) p. 3–4

Partie 3 — Probabilité d'être sans facteur puissance kk-ième p. 5–7

Partie 4 — Produit de Dirichlet et limite 1/ζ(k)1/\zeta(k) p. 7–8

Dans l'édifice

Partie 1 — La série $\sum 1/(n^2 + x^2)$ p. 2–3

Partie 2 — Développement en série entière de $x/(e^x - 1)$ p. 3–4

Partie 3 — Probabilité d'être sans facteur puissance $k$ -ième p. 5–7

Partie 4 — Produit de Dirichlet et limite $1/\zeta(k)$ p. 7–8