AnnalesÉcoles d'ingénieurs

X-ENS MP 2016 — Maths B

Théorème du renouvellement · 6 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet considère une suite i.i.d. $(X_k)$ de variables discrètes strictement positives d'espérance $m$ et le nombre $N(a, b)$ de sommes partielles $S_n$ dans $[a, b]$ . Il majore $\mathbb{E}(N(x, x+\ell))$ par $e^\ell/(1 - \mathbb{E}(e^{-X}))$ (inégalité de type Chernoff), puis étudie l'équation de renouvellement $f(x) = g(x) + \sum p_i f(x - x_i)$ : existence et unicité d'une solution bornée à support dans $\mathbb{R}_+$ , régularité. Après une étude des parties de $\mathbb{R}_+^*$ stables par addition (contenues dans $d\mathbb{Z}$ ou à écarts arbitrairement petits), il montre sous l'hypothèse non arithmétique qu'une solution bornée uniformément continue de l'équation homogène atteignant son maximum en $0$ est constante, et en déduit que $\sum \mathbb{E}(g(x - S_k))$ tend vers $(1/\mathbb{E}(X)) \int g$ , donc que $\mathbb{E}(N(x, x+\ell))$ tend vers $\ell/\mathbb{E}(X)$ .

Le sujet, partie par partie

Première partie — Nombre de sommes partielles dans un intervalle p. 1–2

Théorie du renouvellement · Espérance, variance, moments · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Inégalités de concentration · Couples et sommes de variables aléatoires · Séries numériques · Marches aléatoires et chaînes de Markov — processus de renouvellement, sommes partielles de variables i.i.d., inégalité de Bienaymé-Tchebychev, borne de Chernoff, espérance comme somme des queues

Deuxième partie — Équation de renouvellement p. 2–3

Théorie du renouvellement · Suites et séries de fonctions · Convergence uniforme et normale · Espérance, variance, moments · Continuité · Ensembles et dénombrabilité · Couples et sommes de variables aléatoires · Interversion des limites — équation de renouvellement, fonction de renouvellement, convergence normale, uniforme continuité, unicité d'une solution bornée

Troisième partie — Parties de $\mathbb{R}$ stables par addition p. 3–4

Densité · Groupes · Continuité · Suites numériques — partie stable par addition, sous-groupes additifs de $\mathbb{R}$ , borne inférieure, uniforme continuité, ensemble $d\mathbb{Z}$

Quatrième partie — Théorème du renouvellement p. 4–6

Théorie du renouvellement · Équations fonctionnelles · Espérance, variance, moments · Compacité · Intégrales généralisées et intégrabilité · Dérivabilité · Convergence uniforme et normale — théorème du renouvellement de Blackwell, lemme de Choquet-Deny, loi non arithmétique, limite supérieure, marche aléatoire à pas positifs