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X-ENS MP 2018 — Maths A

Décomposition en valeurs singulières, approximation de rang faible et matrices de rang fixé · 6 pages

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Le sujet construit la décomposition en valeurs singulières $A = U\Sigma V^\top$ d'une matrice de rang $k$ à partir de la réduction de $AA^\top$ , puis démontre le théorème d'Eckart-Young : la meilleure approximation de $A$ pour la norme de Frobenius par une matrice de rang $l$ s'obtient en tronquant la décomposition. Il étudie ensuite des projecteurs obliques définis par une matrice par blocs et leur continuité, et en déduit que l'espace tangent en $A$ à l'ensemble des matrices de rang $k$ est exactement l'espace $T_A$ , dont il calcule la dimension et l'orthogonal.

Le sujet, partie par partie

Notations et Préliminaire — Norme de Frobenius p. 1–2

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Calcul matriciel · Espaces vectoriels normés — norme de Frobenius, produit scalaire $\operatorname{tr}(A^\top B)$ , sous-multiplicativité, rang d'une matrice

Partie I — Décomposition en valeurs singulières p. 2

Valeurs singulières et conditionnement · Théorème spectral · Matrices symétriques positives · Projection orthogonale et moindres carrés — décomposition en valeurs singulières, matrice $AA^\top$ , valeurs propres positives, image d'une matrice, projection orthogonale $UU^\top$

Partie II — Meilleure approximation de rang fixé p. 3

Valeurs singulières et conditionnement · Projection orthogonale et moindres carrés · Approximation des fonctions · Inégalités classiques — théorème d'Eckart-Young, approximation de rang faible, norme de Frobenius, décomposition tronquée, cas d'égalité

Partie III — Projecteurs et matrices par blocs p. 4

Applications linéaires et rang · Matrices par blocs · Topologie des espaces de matrices · Espaces vectoriels et dimension · Continuité — projection oblique, matrice par blocs inversible, sous-espaces supplémentaires, ouverture de $\mathrm{GL}_n$ , continuité de l'inversion

Partie IV — Espace tangent à l'ensemble des matrices de rang $k$ p. 4–6

Calcul différentiel · Courbes et surfaces · Projection orthogonale et moindres carrés · Valeurs singulières et conditionnement · Topologie des espaces de matrices · Applications linéaires et rang — espace tangent, vecteur tangent, matrices de rang $k$ , sous-variété, projection orthogonale sur l'espace tangent, dimension de l'espace tangent