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X-ENS MP 2020 — Maths A

Valeurs propres des matrices symétriques rationnelles · 6 pages

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Le sujet caractérise les réels qui sont valeurs propres d'une matrice symétrique à coefficients rationnels. Après des exemples ( $\sqrt{2}$ l'est, $\sqrt{3}$ ne l'est pas pour une matrice $2 \times 2$ , la racine cubique de 2 jamais), il introduit les nombres totalement réels, montre qu'ils forment un corps grâce aux sommes de Newton, puis prouve que tout nombre totalement réel est valeur propre d'une matrice symétrique rationnelle en symétrisant une matrice compagnon par une forme bilinéaire définie positive.

Le sujet, partie par partie

Notations et Première partie — Exemples p. 3–4

Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Irrationalité et approximation diophantienne · Congruences et Z/nZ · Polynômes · Matrices orthogonales et rotations · Matrices par blocs — matrice symétrique rationnelle, valeur propre, irrationalité de $\sqrt{3}$ , équation $x^2 + y^2 = 3z^2$ , racine cubique de 2, matrices qui commutent

Deuxième partie — Sommes de Newton et polynômes rationnels p. 4–5

Racines et relations coefficients-racines · Séries entières · Polynômes · Fractions rationnelles — sommes de Newton, polynôme réciproque, dérivée logarithmique, relations coefficients-racines, nombres algébriques

Troisième partie — Nombres totalement réels p. 5

Corps et extensions · Entiers algébriques et équations diophantiennes · Théorème spectral · Racines et relations coefficients-racines — nombre totalement réel, nombre totalement positif, sous-corps de $\mathbb{R}$ , polynôme annulateur rationnel

Quatrième partie — Réciproque : construction d'une matrice symétrique p. 5–6

Formes bilinéaires et quadratiques · Procédé de Gram-Schmidt · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Matrices remarquables · Déterminants — forme bilinéaire définie positive, base orthogonale rationnelle, matrice compagnon, matrice de Hankel, polynôme minimal, forme linéaire $t$ admise