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X-ENS MP 2022 — Maths B

Développement de la cotangente, valeurs de $\zeta$ et probabilité que des entiers soient premiers entre eux · 7 pages

La première partie établit le développement eulérien $\pi x \operatorname{cotan}(\pi x) = 1 + 2 \sum x^2/(x^2 - n^2)$ par une équation fonctionnelle et un argument de maximum, puis en tire les nombres de Bernoulli $b_{2n}$ et les valeurs $\zeta(2)$ , $\zeta(4)$ , $\zeta(6)$ . La deuxième partie munit les probabilités sur un ensemble dénombrable de la norme uniforme sur les parties, montre que la convergence en norme équivaut à la convergence ponctuelle des masses et, par extraction diagonale, qu'une suite tendue admet une valeur d'adhérence. Les dernières parties appliquent ces outils à la divisibilité : la loi du pgcd de $s$ entiers tirés uniformément dans $\{1, \dots, n\}$ converge vers la loi zêta, et la probabilité que $s$ entiers soient premiers entre eux tend vers $1/\zeta(s)$ .

Le sujet, partie par partie

Première partie — Développement de la cotangente et valeurs de $\zeta(2k)$ p. 2–3

Suites et séries de fonctions · Fonction zêta de Riemann · Polynômes et nombres de Bernoulli · Séries entières · Continuité · Fonctions génératrices — développement eulérien de la cotangente, nombres de Bernoulli, $\zeta(2)$ , $\zeta(4)$ , $\zeta(6)$ , série génératrice $x/(e^x - 1)$ , équation fonctionnelle

Deuxième partie — Convergence de probabilités sur un ensemble dénombrable p. 3–5

Espaces probabilisés · Espaces vectoriels normés · Compacité · Familles sommables et produit de Cauchy · Ensembles et dénombrabilité — distance en variation totale, suite tendue, extraction diagonale, valeur d'adhérence, convergence ponctuelle des masses

Troisième partie — Lois de variables aléatoires et couplage p. 5–6

Variables aléatoires et lois usuelles · Espaces probabilisés · Espérance, variance, moments · Nombres premiers — loi d'une variable aléatoire, inégalité de couplage, suite stationnaire, valuation $p$ -adique

Quatrième partie — Pgcd d'entiers aléatoires et loi zêta p. 6–7

Espaces probabilisés · PGCD, Bézout, Gauss · Fonction zêta de Riemann · Nombres premiers · Formule du crible et dérangements · Théorie analytique des nombres — loi zêta, probabilité que des entiers soient premiers entre eux, $1/\zeta(s)$ , pgcd aléatoire, loi uniforme, divisibilité

Dans l'édifice

Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe La fonction zêta de Riemann et son prolongement Anneaux de polynômes Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Compacité La demi-droite achevée et les sommes positives Équipotence et comparaison des ensembles Théorème de Cantor-Bernstein ℕ × ℕ, ℤ et ℚ sont dénombrables Lois de Poisson et loi exponentielle Espérance, variance et inégalités Théorème fondamental de l'arithmétique PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Ensembles finis et principe des tiroirs Théorie analytique des nombres Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1 Le théorème des nombres premiers