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X-ENS PSI 2021 — Maths

Intégration et dérivation fractionnaires de Riemann-Liouville et de Caputo · 8 pages

Le sujet construit, pour $\alpha > 0$ , une intégrale fractionnaire $J^\alpha f = \Phi_\alpha * f$ avec $\Phi_\alpha(t) = t^{\alpha-1}/\Gamma(\alpha)$ , qui vérifie $J^\alpha \circ J^\beta = J^{\alpha+\beta}$ , puis les dérivées fractionnaires de Riemann-Liouville $D^\alpha = D^m \circ J^{m-\alpha}$ et de Caputo $D_*^\alpha = J^{m-\alpha} \circ D^m$ , dont il étudie la loi des exposants. Les préliminaires établissent les propriétés de la fonction $\Gamma$ , une version du théorème de Fubini, le produit de convolution et l'injectivité de la transformée de Laplace (via le théorème de Weierstrass). Il résout enfin l'équation d'Abel et l'équation $D_*^\alpha u = -u$ à l'aide de la fonction de Mittag-Leffler $E_\alpha$ .

Le sujet, partie par partie

Préambule et préliminaires — Fonction Gamma, théorème de Fubini, convolution et transformée de Laplace p. 2–5

Fonctions Gamma et Bêta · Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre · Intégrales multiples · Théorème de Weierstrass · Intégrales généralisées et intégrabilité · Continuité — fonction Gamma, fonction Bêta, théorème de Fubini, produit de convolution, transformée de Laplace, injectivité de la transformée de Laplace, fonction d'ordre exponentiel

Partie A — Intégration fractionnaire p. 5–6

Opérateurs et théorie spectrale · Fonctions Gamma et Bêta · Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrale sur un segment · Intégrales multiples — intégrale fractionnaire de Riemann-Liouville, primitives itérées, formule de Cauchy pour l'intégration répétée, semi-groupe d'opérateurs, convolution

Partie B — Dérivées fractionnaires p. 6–7

Opérateurs et théorie spectrale · Fonctions Gamma et Bêta · Dérivabilité · Séries entières · Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre — dérivée fractionnaire de Riemann-Liouville, dérivée de Caputo, loi des exposants, formule de Taylor, demi-dérivée

Partie C — Deux équations différentielles fractionnaires p. 8

Transformées de Fourier et de Laplace · Séries entières · Équations différentielles linéaires · Fonctions Gamma et Bêta · Opérateurs et théorie spectrale — équation intégrale d'Abel, fonction de Mittag-Leffler, rayon de convergence, équation différentielle fractionnaire, transformée de Laplace