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Agrégation interne 2017 — Épreuve 2

Formule sommatoire de Poisson et une fonction doublement périodique · 8 pages

Le sujet établit la formule sommatoire de Poisson pour une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ dont la fonction et la dérivée sont des $O(1/x^2)$ , puis développe en série de Fourier la fonction $2\pi$ -périodique égale à $x \mapsto e^{tx}$ sur $\left[-\pi, \pi\right[$ pour obtenir des développements de $\pi t/\operatorname{sh}(\pi t)$ . Après un travail sur les suites doubles sommables indexées par $\mathbb{Z}^2$ , il étudie la série $\phi(x) = \sum (-1)^{n-1} n \operatorname{ch}(nx)/\operatorname{sh}(n\pi)$ et l'intégrale $\gamma(x) = \int_0^{+\infty} \cos(2tx)/\operatorname{ch}^2(t) \,\mathrm{d}t$ pour démontrer l'identité $1/(2\pi) + \sum (-1)^n n/\operatorname{sh}(n\pi) (\operatorname{ch}(nx) + \cos(nx)) = 0$ sur $\left]-\pi, \pi\right[$ . Il en déduit une fonction $\wp$ , $2\pi$ - et $2i\pi$ -périodique et paire, définie sur $\mathbb{C}$ privé de $\Lambda = (2\mathbb{Z}+1)\pi + i(2\mathbb{Z}+1)\pi$ (translaté du réseau $2\pi\mathbb{Z} + 2i\pi\mathbb{Z}$ ), développable en série entière au voisinage de chaque point, avec un rayon $\sqrt{2}\,\pi$ en $0$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Formule sommatoire de Poisson et série de Fourier de $e^{tx}$ p. 3–4

Séries de Fourier · Transformées de Fourier et de Laplace · Convergence uniforme et normale · Convergence des séries de Fourier · Intégrales généralisées et intégrabilité — formule sommatoire de Poisson, transformée de Fourier, périodisation, convergence normale sur tout compact, coefficients de Fourier, théorème de Dirichlet

Partie II — Suites doubles sommables p. 4–5

Familles sommables et produit de Cauchy · Séries numériques — suite double sommable, théorème de Fubini pour les séries, sommation par paquets, suites indexées par $\mathbb{Z}^2$

Partie III — Étude de la série $\phi$ p. 5–6

Suites et séries de fonctions · Familles sommables et produit de Cauchy · Séries de Fourier · Interversion des limites · Convergence uniforme et normale — série de fonctions, fonctions hyperboliques, développement de $1/\operatorname{sh}$ , interversion de sommations, fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ , formule de Poisson

Partie IV — L'intégrale $\gamma$ et l'identité de départ p. 6

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Transformées de Fourier et de Laplace · Interversion des limites · Séries de Fourier — intégrale à paramètre, transformée de Fourier de $1/\operatorname{ch}^2$ , intégration terme à terme, intégration par parties, développement en série

Partie V — Une fonction doublement périodique p. 7–8

Familles sommables et produit de Cauchy · Analyse complexe · Séries entières · Fractions rationnelles · Séries de Fourier — fonction $\wp$ de Weierstrass, fonction doublement périodique, développement en éléments simples de $\coth$ , développement en série entière, rayon de convergence, sommation sur $\mathbb{Z}^2$

Dans l'édifice

Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann La demi-droite achevée et les sommes positives Suites, séries et parties compactes de ℂ Une série entière est holomorphe Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques Corps des fractions d'un anneau intègre