AnnalesBaccalauréat

Bac Polynésie Terminale 2019 — Session normale, 19 juin 2019

Loi exponentielle, loi normale et fluctuation, fonction modélisant un écoulement et volume, suite d'intégrales et somme, droites et plans dans un pavé ou matrice, congruences et irrationalité · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la durée de fonctionnement d'un distributeur par une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$ , la masse d'une glace par une loi normale, puis met en doute une hypothèse de proportion par un intervalle de fluctuation. Le deuxième exercice cherche une fonction vérifiant trois conditions en testant un trinôme, $k\ln x$ et $\frac{a}{x^4} + bx$ , puis étudie $f(x) = \frac{1}{20}\left(x - \frac{1}{x^4}\right)$ et calcule le volume $V = \int_{\alpha}^1 \pi x^2 f'(x)\,\mathrm{d}x$ ; le troisième étudie $I_n = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1 - x}\,\mathrm{d}x$ , la relation $I_n - I_{n+1} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}$ , un encadrement et la limite de la somme $S_n = I_0 - I_n$ . Au choix, les non-spécialistes déterminent le plan $(EBD)$ d'un parallélépipède rectangle et son intersection $K$ avec $(AG)$ , et les spécialistes étudient les chiffres des unités d'une suite définie par la matrice $M$ par congruences modulo 5, puis démontrent l'irrationalité de $\sqrt{3}$ à l'aide de $M^{-1}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Loi exponentielle, loi normale et intervalle de fluctuation p. 1

Loi exponentielle · Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests · Conditionnement et indépendance — $\lambda = 0{,}1$ , absence de mémoire, $P(X > t) = 0{,}05$ , $P(M \geqslant m) \geqslant 0{,}99$ , intervalle de fluctuation

Exercice 2 — Recherche d'une fonction sous contraintes, théorème des valeurs intermédiaires et calcul d'un volume p. 1–2

Dérivabilité · Continuité · Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Limites de fonctions et asymptotes · Second degré — $g(x) = k\ln x$ , $h(x) = \frac{a}{x^4} + bx$ , $f(x) = \frac{1}{20}\left(x - \frac{1}{x^4}\right)$ , $f(x) = -5$ , $V = \int_{\alpha}^1 \pi x^2 f'(x)\,\mathrm{d}x$ , volume

Exercice 3 — Suite d'intégrales, encadrement et limite d'une somme p. 2–3

Intégrale sur un segment · Suites numériques · Informatique et algorithmique · Séries numériques — $I_n = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1 - x}\,\mathrm{d}x$ , $I_0 = \ln(2)$ , $I_n - I_{n+1} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}$ , $0 \leqslant I_n \leqslant \frac{1}{2^n}$ , $S_n = I_0 - I_n$ , algorithme

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi la spécialité — Plan, droite et intersection dans un parallélépipède rectangle p. 3

Géométrie vectorielle dans l'espace — parallélépipède rectangle, $3x + 2y + 6z - 36 = 0$ , droite $(AG)$ , $K(4 ; 6 ; 2)$ , points alignés, plans parallèles

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Suites matricielles, congruences modulo 5 et irrationalité de $\sqrt{3}$ p. 3–4

Calcul matriciel · Congruences et Z/nZ · Irrationalité et approximation diophantienne · Suites numériques — $M = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , $v_{n+3} \equiv v_n \ [5]$ , chiffre des unités, raisonnement par récurrence, $M^{-1}$ , irrationalité de $\sqrt{3}$ , raisonnement par l'absurde