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CAPES externe 2024 — Écrit disciplinaire

Vrai-faux et modèles de dynamique de population · 12 pages

Le premier problème est un vrai-faux de vingt-trois affirmations à justifier, couvrant proportionnalité et pourcentages, analyse, arithmétique (développement décimal, irrationalité, critères de divisibilité, congruences, triplets pythagoriciens), géométrie plane et dans l'espace, dénombrement, probabilités et un algorithme en Python. Le second problème étudie des modèles de dynamique de population : la suite logistique $v_{n+1} = a v_n(1 - v_n)$ , dont on montre la convergence vers $3/5$ pour $a = 5/2$ , l'équation logistique continue $y' = a y(M - y)$ , résolue explicitement, puis un modèle proies-prédateurs discret dont la matrice a des valeurs propres complexes $r e^{\pm i\theta}$ .

Le sujet, partie par partie

Problème 1 — Vrai ou faux p. 2–4

Arithmétique des entiers · Dénombrement et combinatoire · Géométrie affine et euclidienne · Espaces probabilisés · Congruences et Z/nZ · Irrationalité et approximation diophantienne · Nombres rationnels et décimaux · Loi de Poisson · Informatique et algorithmique — vrai-faux, critères de divisibilité, triplets pythagoriciens, chemins dans un quadrillage, contraposée, loi de Poisson, dichotomie

Problème 2, Partie A — Modèle logistique discret p. 5–6

Suites numériques · Points fixes et suites itératives · Informatique et algorithmique · Dérivabilité — suite logistique, suite récurrente, sous-suites des rangs pairs et impairs, point fixe, algorithme de seuil

Problème 2, Partie B — Modèle logistique continu p. 6–7

Équations différentielles non linéaires · Fractions rationnelles — équation logistique, modèle de Verhulst, décomposition en éléments simples, séparation des variables

Problème 2, Partie C — Modèle proies-prédateurs discret p. 7–8

Diagonalisation · Nombres complexes · Suites récurrentes linéaires · Suites numériques — modèle proies-prédateurs, valeurs propres complexes, forme trigonométrique, diagonalisation dans $\mathbb{C}$ , puissances d'une matrice

Dans l'édifice

Division euclidienne PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Théorème fondamental de l'arithmétique Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Espaces vectoriels et sous-espaces Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Les anneaux ℤ/nℤ ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure Un corps ordonné complet est archimédien ℚ, corps des fractions de ℤ ℚ est archimédien et dense Lois de Poisson et loi exponentielle Théorème de définition par récurrence Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Dérivabilité Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs Corps des fractions d'un anneau intègre Matrices d'une application linéaire Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle