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Centrale-Supélec MP 2020 — Maths 1

Fonctions arithmétiques multiplicatives et applications · 5 pages

Le sujet munit les fonctions arithmétiques du produit de convolution de Dirichlet, montre que les fonctions multiplicatives forment un groupe, établit la formule d'inversion de Möbius, $\varphi = \mu * \mathbf{I}$ , le déterminant de Smith $\det(f(i \wedge j)) = \prod (f * \mu)(k)$ et la multiplicativité des séries de Dirichlet. Il l'applique à la preuve que deux matrices de permutation sont semblables si et seulement si les permutations sont conjuguées, à une caractérisation des endomorphismes de permutation, puis montre que le déterminant de la matrice de Redheffer $H_n$ est la fonction de Mertens $M(n)$ et que $1$ est valeur propre de $H_n$ de multiplicité $n - \lfloor \log_2 n \rfloor - 1$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I.A–I.C — Convolution, fonctions multiplicatives et fonction de Möbius p. 1–2

Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius · Anneaux et idéaux · Groupes · PGCD, Bézout, Gauss · Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler — convolution de Dirichlet, fonction multiplicative, inverse pour la convolution, fonction de Möbius, inversion de Möbius, indicatrice d'Euler

Partie I.D–I.E — Déterminant de Smith et séries de Dirichlet p. 2–3

Déterminants · Séries de Dirichlet · Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius · Matrices remarquables · Familles sommables et produit de Cauchy — déterminant de Smith, matrice des pgcd, matrice des diviseurs, abscisse de convergence absolue, unicité des coefficients, produit de séries de Dirichlet

Partie II.A — Similitude de deux matrices de permutation p. 3–4

Groupe symétrique · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Matrices par blocs · Matrices remarquables · Racines et relations coefficients-racines — matrice de permutation, permutations conjuguées, décomposition en cycles, type cyclique, matrices semblables, polynôme caractéristique d'un cycle

Partie II.B — Endomorphismes de permutation p. 4

Diagonalisation · Groupe symétrique · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Polynômes d'endomorphismes · Nombres complexes — endomorphisme de permutation, trace des puissances, polynôme annulateur, racines de l'unité, matrices diagonalisables semblables, involution

Partie III — Valeurs propres de la matrice de Redheffer p. 5

Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Déterminants · Séries de Dirichlet · Dénombrement et combinatoire — matrice de Redheffer, fonction de Mertens, polynôme caractéristique, factorisations ordonnées, multiplicité d'une valeur propre, logarithme en base 2