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Centrale-Supélec MPI 2024 — Maths 2

L'équation aux différences $f(x + 1) - f(x) = h(x)$ et les polynômes de Bernoulli · 4 pages

Le sujet étudie l'équation $f(x + 1) - f(x) = h(x)$ . Il résout d'abord le cas polynomial par l'étude de l'opérateur de différence finie $\Delta$ (noyau, image, nilpotence), puis introduit les fonctions entières et une intégrale sur le cercle unité. Il définit les polynômes de Bernoulli par une représentation intégrale, établit $B_n' = nB_{n-1}$ , $B_n(z + 1) - B_n(z) = nz^{n-1}$ et leur caractérisation, les relie à la fonction génératrice $x/(e^x - 1)$ , et construit enfin une solution entière de l'équation lorsque $h$ est entière, grâce à une minoration de $|e^z - 1|$ sur des cercles.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Étude de l'opérateur différence finie p. 1

Applications linéaires et rang · Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes · Diagonalisation — opérateur de différence finie, noyau et image, endomorphisme induit, polynôme annulateur, endomorphisme nilpotent non diagonalisable

Partie II — Fonctions entières et une intégrale sur le cercle p. 2

Séries entières · Analyse complexe · Interversion des limites · Nombres complexes — fonction entière, rayon de convergence infini, formule des coefficients par intégrale sur le cercle, série géométrique, interversion série intégrale

Partie III — Polynômes de Bernoulli p. 2–3

Polynômes et nombres de Bernoulli · Fonctions génératrices · Calcul différentiel · Intégrales à paramètre — polynômes de Bernoulli, $B_n' = nB_{n-1}$ , symétrie $B_n(1 - X)$ , fonction génératrice $x/(e^x - 1)$ , dérivées partielles, classe $\mathcal{C}^\infty$

Partie IV — Solution entière de l'équation p. 3–4

Analyse complexe · Séries entières · Nombres complexes · Suites numériques — minoration de $|e^z - 1|$ , raisonnement par l'absurde, intégrale sur un cercle, majoration exponentielle, fonction entière solution