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Centrale-Supélec PSI 2020 — Maths 2

Les fonctions de Lambert · 4 pages

Le sujet définit la fonction $W$ de Lambert, réciproque de $x \mapsto x e^x$ sur $\left[-1, +\infty\right[$ , et étudie sa régularité, ses équivalents et la résolution d'équations transcendantes qu'elle permet. Il l'applique à deux problèmes probabilistes (loi de Poisson, loi binomiale, inégalité de Markov), établit son développement en série entière à l'aide de l'identité binomiale d'Abel, puis l'approche par une suite récurrente de point fixe.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Fonctions de Lambert p. 1

Continuité · Dérivabilité · Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité — fonction $W$ de Lambert, bijection réciproque, équation $x e^x = m$ , intégrabilité, équivalent en $0$ et en l'infini

Partie II — Applications en probabilités p. 2

Loi de Poisson · Lois de Bernoulli et binomiale · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Conditionnement et indépendance — tombola, transmission de bits, inégalité de Markov, loi de Poisson, loi binomiale, fonction $W$ de Lambert

Partie III — Développement en série entière p. 3

Séries entières · Polynômes · Équations différentielles linéaires · Coefficients binomiaux · Espaces vectoriels et dimension · Formule de Stirling · Convergence uniforme et normale — identité binomiale d'Abel, polynômes d'Abel, rayon de convergence, équation différentielle $x y' - y = 0$ , fonction $W$ de Lambert

Partie IV — Approximation de $W$ p. 4

Points fixes et suites itératives · Convergence uniforme et normale · Suites numériques — suite récurrente, point fixe, inégalité des accroissements finis, convergence uniforme, fonction $W$ de Lambert

Dans l'édifice

Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Dérivabilité Suites réelles et limites Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Lois de Poisson et loi exponentielle Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Anneaux de polynômes Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Ensembles finis et principe des tiroirs Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Intégrale de Riemann Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ