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AnnalesÉcoles d'ingénieurs

e3a-Polytech MP 2012 — Mathématiques

Réciproque de xexx e^x et série entière ∑nn−1zn/n!\sum n^{n-1} z^n / n! · 5 pages

Sujet (PDF)

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet étudie la réciproque gg de la restriction de f(x)=xexf(x) = x e^x à [−1,+∞[\left[-1, +\infty\right[ (fonction de Lambert) : régularité, expression de g′g' en fonction de gg, branche parabolique et primitive. Il l'utilise pour la limite de la tour d'exponentielles un+1=cunu_{n+1} = c^{u_n} avec 0<c<e1/e0 < c < e^{1/e}, puis détermine le rayon 1/e1/e de la série S(z)=∑nn−1zn/n!S(z) = \sum n^{n-1} z^n / n! et sa convergence normale sur le cercle grâce à un équivalent de type Stirling de nn−1/(enn!)n^{n-1}/(e^n n!), établi via la suite n! en/(nnn)n!\, e^n/(n^n \sqrt{n}). Une forme linéaire « coefficient α−1\alpha_{-1} » sur des fonctions à développement de Laurent sert enfin à calculer les coefficients du développement en série entière de gg (inversion de Lagrange) et à relier gg à SS.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Étude de f(x)=xexf(x) = x e^x p. 1–2

Dérivabilité · Continuité · Fonctions spéciales — tableau de variations, théorème de la bijection, fonction réciproque, fonction de Lambert, classe 𝒞∞\mathcal{C}^\infty

Partie II — Propriétés de la réciproque gg p. 2

Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Fonctions spéciales — dérivée d'une fonction réciproque, tangente verticale, branche parabolique, primitive, changement de variable

Partie III — Une suite récurrente : tour d'exponentielles p. 3

Suites numériques · Points fixes et suites itératives · Fonctions spéciales — suite récurrente un+1=cunu_{n+1} = c^{u_n}, suites extraites paires et impaires, suite monotone bornée, tour d'exponentielles

Partie IV — Rayon de convergence et comportement sur le cercle p. 3–4

Séries entières · Formule de Stirling · Séries numériques · Équivalents et comparaison — rayon de convergence, formule de Stirling, convergence normale sur le cercle de convergence, (1+1/n)n(1 + 1/n)^n

Partie V-A — Fonctions à développement de Laurent et coefficient α−1\alpha_{-1} p. 4–5

Séries entières · Séries formelles · Analyse complexe — développement de Laurent, résidu, forme linéaire, dérivée logarithmique f′/ff'/f

Partie V-B — Coefficients du développement de gg p. 5

Séries entières · Convergence uniforme et normale · Interversion des limites · Fonctions spéciales — formule d'inversion de Lagrange, développement en série entière de la réciproque, convergence normale, coefficients nn−1/n!n^{n-1}/n!

Dans l'édifice

DérivabilitéContinuitéThéorème des valeurs intermédiairesThéorème de HeineLa fonction zêta de Riemann et son prolongementThéorème de Schwarz et intégrales à paramètreIntégrale de RiemannThéorème fondamental de l'analyseSuites réelles et limitesThéorème de Bolzano-WeierstrassComplétude de ℝThéorème du point fixe de BanachThéorème du point fixe de Knaster-TarskiSéries entières et rayon de convergenceUne série entière est holomorpheLes fonctions holomorphes sont analytiquesSuites, séries et parties compactes de ℂLa demi-droite achevée et les sommes positivesAnneaux de polynômesAnalyse complexeDérivabilité complexeFormule intégrale de CauchyThéorème de Liouville et d'Alembert-GaussPrincipe des zéros isolésConvergence uniforme et intégrale des fonctions complexes
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