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e3a-Polytech MP 2015 — Mathématiques

Quatre exercices : matrice $J + I$ , matrices tridiagonales, intégrale de Dirichlet, canal binaire bruité · 8 pages

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Le premier exercice étudie la matrice $A = I_n + J$ (des 2 sur la diagonale, des 1 ailleurs) : polynôme annulateur, inverse, diagonalisation en base orthonormée, dimension de l'espace des $U$ tels que ${}^t\!U A = AU$ , et réduction simultanée via le produit scalaire ${}^t\!X A Y$ . Le deuxième montre qu'une matrice tridiagonale symétrique à coefficients sous-diagonaux non nuls a $n$ valeurs propres distinctes et que les racines de $P_{n+1}$ et $P_n$ s'entrelacent. Le troisième calcule, à partir de l'intégrale de Dirichlet, l'intégrale de $(1 - \cos \alpha t)/t^2$ et sa transformée de Fourier ; le quatrième modélise un canal binaire bruité (formule de Bayes, loi binomiale, décodage par vote majoritaire, probabilité d'erreur et programme Python).

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — La matrice $I + J$ p. 2–3

Théorème spectral · Polynômes d'endomorphismes · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Matrices remarquables · Espaces vectoriels et dimension · Matrices symétriques positives — matrice $J$ dont tous les coefficients valent $1$ , polynôme annulateur, inverse d'une matrice, matrice orthogonale, produit scalaire défini par une matrice, endomorphisme symétrique, réduction simultanée

Exercice 2 — Matrices tridiagonales et entrelacement des racines p. 4

Matrices remarquables · Entrelacement et inégalités spectrales · Déterminants · Racines et relations coefficients-racines · Diagonalisation · Théorème spectral · Applications linéaires et rang — matrice tridiagonale, relation de récurrence à trois termes, polynôme caractéristique, valeurs propres distinctes, entrelacement des racines, déterminant extrait, rang

Exercice 3 — Intégrale de Dirichlet et transformée de Fourier p. 5

Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions spéciales · Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrale sur un segment — intégrale de Dirichlet, $\sin(x)/x$ , prolongement par continuité, fonction intégrable, intégration par parties, transformée de Fourier

Exercice 4 — Transmission sur un canal binaire bruité p. 6–7

Probabilités totales et formule de Bayes · Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments · Informatique et algorithmique · Coefficients binomiaux — canal binaire symétrique, probabilités conditionnelles, formule de Bayes, loi binomiale, décodage par majorité, probabilité d'erreur, programme Python

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires Anneaux de polynômes Théorème de représentation de Riesz Matrices d'une application linéaire Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Théorème du rang Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann La fonction zêta de Riemann et son prolongement Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Théorème de définition par récurrence Ensembles finis et principe des tiroirs