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e3a-Polytech MP 2022 — Mathématiques

Quatre exercices : fonction Gamma, maximum de tirages, forme quadratique sur la boule, matrice circulante · 8 pages

Le premier exercice calcule $\Gamma(n + 1/2)$ puis l'intégrale $H(x) = \int_0^{+\infty} \cos(xt) \exp(-t^2) \,\mathrm{d}t$ de deux façons, par série entière et par une équation différentielle. Le deuxième étudie le maximum $X_n$ de $k$ tirages indépendants uniformes sur $[\![1, n]\!]$ , calcule son espérance et en donne un équivalent à l'aide de sommes de Riemann. Le troisième détermine le maximum $n - 1$ de la forme quadratique $\sum_{i\neq j} x_i x_j$ sur la boule unité, directement puis par le théorème spectral. Le quatrième réduit la matrice de permutation circulante $F$ et la matrice $A = P(F)$ , avec $P = \sum kX^{k-1}$ , et exprime $A^{-1}$ à l'aide des puissances de $F$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction Gamma et intégrale de Gauss à paramètre p. 2

Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales à paramètre · Séries entières · Interversion des limites · Équations différentielles linéaires · Intégrales généralisées et intégrabilité — fonction Gamma, $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ , intégrale de Gauss, intégration terme à terme, dérivation sous le signe intégral, équation différentielle linéaire du premier ordre

Exercice 2 — Maximum de tirages dans $k$ urnes p. 2–3

Variables aléatoires et lois usuelles · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Espérance, variance, moments · Équivalents et comparaison — maximum de variables aléatoires, loi uniforme, espérance par la somme des queues, sommes de Riemann, tirages indépendants

Exercice 3 — Maximum d'une forme quadratique sur la boule unité p. 3–4

Formes bilinéaires et quadratiques · Théorème spectral · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Compacité · Matrices remarquables — inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité, forme bilinéaire symétrique, matrice $J$ dont tous les coefficients valent $1$ , base orthonormale de vecteurs propres, maximum sur la boule unité

Exercice 4 — Réduction d'une matrice circulante p. 5–6

Matrices remarquables · Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Nombres complexes · Déterminants · Racines et relations coefficients-racines — racines $n$ -ièmes de l'unité, matrice circulante, matrice de permutation, polynôme minimal, inverse comme polynôme en $F$ , produit des $1 - \omega^k$