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AnnalesÉcoles d'ingénieurs

e3a-Polytech PC 2011 — Mathématiques

Étude de la fonction F(x)=∫dt/1+t4F(x) = \int \mathrm{d}t/\sqrt{1+t^4} et intégrales de Wallis · 4 pages

Sujet (PDF)

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le problème étudie f(x)=1/1+x4f(x) = 1/\sqrt{1+x^4}, sa primitive FF nulle en 00 et l'intégrale α=∫0+∞dt/1+t4\alpha = \int_0^{+\infty} \mathrm{d}t/\sqrt{1+t^4}, ainsi que la suite an=(2n)!/(4n(n!)2)a_n = (2n)!/(4^n (n!)^2). Les intégrales de Wallis fournissent l'équivalent an∼1/πna_n \sim 1/\sqrt{\pi n} ; l'étude de FF (variations, développement limité, limite α\alpha en +∞+\infty, courbe paramétrée, fonction de deux variables) aboutit au développement en série entière de FF sur [−1,1][-1, 1], d'où α=2∑(−1)nan/(4n+1)\alpha = 2 \sum (-1)^n a_n/(4n+1) et une valeur approchée de α\alpha.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Résultats préliminaires p. 2

Intégrales généralisées et intégrabilité · Développements limités · Comparaison série-intégrale · Suites numériques · Séries entières · Coefficients binomiaux — étude de fonction, point d'inflexion, coefficient binomial central, rayon de convergence, intégrale impropre, comparaison série-intégrale

Partie II — Intégrales de Wallis p. 2–3

Formule de Stirling · Intégrale sur un segment · Équivalents et comparaison · Séries numériques · Séries alternées — intégrales de Wallis, intégration par parties, relation de récurrence, équivalent de ana_n, nature d'une série

Partie III — Étude de FF p. 3–4

Intégrale sur un segment · Développements limités · Courbes et surfaces · Calcul différentiel · Équations différentielles linéaires · Intégrales généralisées et intégrabilité · Continuité — fonction définie par une intégrale, primitive, limite d'une fonction croissante, courbe paramétrée, équation différentielle linéaire d'ordre 1, fonction de classe 𝒞1\mathcal{C}^1 sur ℝ2\mathbb{R}^2, dérivées partielles

Partie IV — Développement en série entière de FF et utilisation p. 4

Séries entières · Convergence uniforme et normale · Séries alternées · Analyse numérique — théorème d'Abel radial, convergence normale, série du binôme, développement en série entière, reste d'une série alternée, valeur approchée

Dans l'édifice

Fonctions intégrablesL'intégrale de Lebesgue prolonge celle de RiemannDérivabilitéIntégrale de RiemannSuites réelles et limitesThéorème de Bolzano-WeierstrassComplétude de ℝSéries entières et rayon de convergenceUne série entière est holomorpheLes fonctions holomorphes sont analytiquesEnsembles finis et principe des tiroirsThéorème fondamental de l'analyseSuites, séries et parties compactes de ℂLa demi-droite achevée et les sommes positivesSous-variétés de ℝⁿEspace tangent à une sous-variétéApplications différentiablesFonctions de classe CᵏInégalité des accroissements finisSystèmes linéaires et exponentielle de matricesContinuitéThéorème des valeurs intermédiairesThéorème de HeineConvergence uniforme et intégrale des fonctions complexesThéorème du point fixe de Banach
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