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e3a-Polytech PC 2016 — Mathématiques

Matrices de Gram, splines quadratiques, récurrence linéaire et jeu de pile ou face · 8 pages

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Le sujet comporte trois exercices indépendants. Le premier caractérise les matrices de Gram de taille 2 et une famille de matrices de taille 3, étudie la stabilité de cette propriété par les puissances coefficient par coefficient, et montre à l'aide des produits scalaires intégraux de poids $t^{p-1}$ que les puissances de Hadamard de la matrice $1/(\alpha_i + \alpha_j)$ sont des matrices de Gram. Le deuxième étudie l'espace des fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ polynomiales de degré au plus 2 par morceaux (splines quadratiques), calcule sa dimension et programme en Python une interpolation aux entiers. Le troisième somme une suite récurrente linéaire d'ordre 2 via les valeurs propres d'une matrice, puis analyse un jeu de pile ou face où Alice attend le motif PPF et Benoît le motif FPP : fin presque sûre du jeu, espérance de la durée et probabilités de gain.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1, parties A à C — Matrices de Gram p. 2–3

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Matrices symétriques positives · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Projection orthogonale et moindres carrés · Déterminants — matrice de Gram, inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité, puissance de Hadamard, famille orthonormale, indépendance linéaire

Exercice 1, partie D — Produit scalaire intégral et matrice de Cauchy p. 3

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions Gamma et Bêta · Matrices symétriques positives — produit scalaire intégral, poids $t^{p-1}$ , intégrale d'Euler, matrice de Cauchy $1/(\alpha_i + \alpha_j)$ , matrice de Gram

Exercice 2 — Fonctions $\mathcal{C}^1$ polynomiales par morceaux (splines quadratiques) p. 4–5

Interpolation polynomiale · Applications linéaires et rang · Espaces vectoriels et dimension · Dérivabilité · Informatique et algorithmique — spline quadratique, raccord $\mathcal{C}^1$ , théorème du rang, système linéaire, dimension d'un espace de fonctions, Python

Exercice 3, partie A — Suite récurrente linéaire d'ordre 2 p. 5–6

Suites récurrentes linéaires · Séries numériques · Diagonalisation · Séries entières · Informatique et algorithmique — récurrence linéaire d'ordre 2, série géométrique, somme d'une série, valeurs propres d'une matrice $2 \times 2$ , complexité, nombres rationnels

Exercice 3, partie B — Jeu de pile ou face à motifs (PPF contre FPP) p. 6–7

Conditionnement et indépendance · Espérance, variance, moments · Espaces probabilisés · Suites récurrentes linéaires · Séries numériques — jeu de Penney, motifs de pile ou face, durée du jeu, fin presque sûre, espérance d'un temps d'arrêt, jeu équitable

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Anneaux de polynômes Applications linéaires Théorème du rang Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Dérivabilité Théorème de définition par récurrence Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles