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e3a-Polytech PC 2019 — Mathématiques

Quatre exercices : sommes harmoniques, éléments propres, suites périodiques, sinus de matrice · 5 pages

Le premier exercice étudie le plus petit entier $a_n$ tel que $1/n + \dots + 1/a_n > 1$ et montre par comparaison avec une intégrale que $a_n/n$ tend vers $e$ . Le deuxième détermine les éléments propres de l'endomorphisme $P \mapsto (1/4 - X^2)P' + aXP$ de $\mathbb{R}_{2n}[X]$ ; le troisième munit l'espace des suites 3-périodiques d'un produit scalaire et identifie le décalage à une rotation. Le dernier définit le sinus d'une matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ par une série et le calcule par diagonalisation ou trigonalisation.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Sommes harmoniques p. 2

Suites numériques · Comparaison série-intégrale · Séries numériques — série de Riemann, somme harmonique, encadrement par une intégrale, logarithme, suite d'entiers

Exercice 2 — Un endomorphisme de $\mathbb{R}_{2n}[X]$ p. 2–3

Diagonalisation · Polynômes · Applications linéaires et rang — endomorphisme d'espace de polynômes, éléments propres, sous-espaces propres, spectre, matrice de diagonale constante

Exercice 3 — Suites 3-périodiques p. 3

Espaces vectoriels et dimension · Matrices orthogonales et rotations · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Diagonalisation · Sous-espaces stables — suites périodiques, opérateur de décalage, base orthonormée, isométrie, rotation, orthogonal d'un sous-espace

Exercice 4 — Sinus d'une matrice p. 3–4

Séries entières · Trigonalisation · Calcul matriciel · Diagonalisation · Exponentielle de matrices · Nombres complexes — sinus d'une matrice, série de matrices, matrices semblables, sinus complexe, puissances d'une matrice triangulaire

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Intégrale de Riemann Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Matrices d'une application linéaire Anneaux de polynômes Applications linéaires Théorème du rang Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle