AnnalesÉcoles d'ingénieurs

e3a-Polytech PC 2022 — Mathématiques

Sauteur en hauteur, intégrales de Wallis alternées, diagonalisation simultanée et intégrale de $(\sin t / t)^2$ · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Le sujet se compose de quatre exercices indépendants : un sauteur dont le $n$ -ième saut réussit avec probabilité $1/n$ (loi et espérance du rang du dernier saut réussi), la série alternée de terme général $(-1)^n \int_0^{\pi/2} \cos^n t \,\mathrm{d}t$ sommée par convergence dominée, la diagonalisation simultanée de deux endomorphismes symétriques de $\mathbb{R}^n$ appliquée à un système différentiel, et l'étude de $f(x) = \int_0^{+\infty} (\sin t/t)^2 e^{-xt} \,\mathrm{d}t$ qui permet de calculer $\int_0^{+\infty} (\sin t/t)^2 \,\mathrm{d}t$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Un sauteur en hauteur p. 2

Variables aléatoires et lois usuelles · Conditionnement et indépendance · Espérance, variance, moments · Séries entières — formule des probabilités composées, loi d'une variable discrète, espérance, série exponentielle

Exercice 2 — Série de terme général $(-1)^n \int \cos^n$ p. 2–3

Séries alternées · Convergence dominée · Interversion des limites · Intégrale sur un segment — intégrales de Wallis, critère des séries alternées, intégration terme à terme, convergence dominée, linéarisation

Exercice 3 — Diagonalisation simultanée de $f$ et $g$ p. 3–4

Théorème spectral · Diagonalisation · Sous-espaces stables · Systèmes différentiels linéaires · Applications linéaires et rang — matrice symétrique, spectre, noyau et image supplémentaires orthogonaux, endomorphisme induit, système différentiel avec second membre

Exercice 4 — Intégrale à paramètre et $\int (\sin t / t)^2$ p. 4–5

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence dominée · Nombres complexes — intégrale à paramètre, dérivation sous l'intégrale, domination, intégrale de $(\sin t/t)^2$ , formule d'Euler

Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites, séries et parties compactes de ℂ Théorème de convergence dominée Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espaces de Hilbert et théorème de projection Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Théorème du rang Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle