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e3a-Polytech PSI 2023 — Mathématiques

Loi binomiale et matrice de rang 1, développement asymptotique d'une suite d'intégrales, matrices $A^\top = A^n$ , intégrales de Fresnel · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Quatre exercices indépendants. Le premier étudie un couple $(X, Y)$ de loi proportionnelle à $\binom{n}{i-1} \binom{n}{j-1}$ , montre que $X - 1$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, 1/2)$ et étudie une matrice de rang 1 vérifiant $B^2 = \operatorname{tr}(B) B$ . Le deuxième montre que $u_n = \int_0^1 \mathrm{d}t/(1 + t + \dots + t^n)$ tend vers $1/2$ et que $u_n = 1/2 + \pi^2/(6n^2) + o(1/n^2)$ grâce à une série de fonctions. Le troisième étudie les matrices réelles $A$ telles que $A^\top = A^n$ , montre que $A^{n+1}$ est un projecteur orthogonal et que $\operatorname{Im} A$ et $\operatorname{Ker} A$ sont supplémentaires orthogonaux, et le quatrième calcule les intégrales de Fresnel $\int \cos(x^2)\,\mathrm{d}x = \int \sin(x^2)\,\mathrm{d}x = \sqrt{\pi}/(2\sqrt{2})$ au moyen d'une intégrale à paramètre et d'une série alternée.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Couple de variables et matrice de rang 1 p. 2

Couples et sommes de variables aléatoires · Lois de Bernoulli et binomiale · Diagonalisation · Coefficients binomiaux · Applications linéaires et rang · Conditionnement et indépendance — loi conjointe, lois marginales, indépendance, loi binomiale, matrice de rang 1, $B^2 = \operatorname{tr}(B) B$

Exercice 2 — Développement asymptotique d'une suite d'intégrales p. 2–3

Convergence dominée · Interversion des limites · Développements asymptotiques · Convergence uniforme et normale · Fonction zêta de Riemann · Séries entières — théorème de convergence dominée, série de fonctions, intégration terme à terme, convergence normale, somme des $1/n^2$ , développement asymptotique

Exercice 3 — Matrices dont la transposée est une puissance p. 3–4

Projection orthogonale et moindres carrés · Matrices orthogonales et rotations · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Matrices remarquables · Applications linéaires et rang — transposée, matrice de rotation, projecteur orthogonal, matrice symétrique positive, supplémentaires orthogonaux, matrice orthogonale

Exercice 4 — Intégrales de Fresnel p. 5–6

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries alternées · Nombres complexes · Intégrale sur un segment — intégrales de Fresnel, intégrale à paramètre, intégrale semi-convergente, critère des séries alternées, intégration par parties, changement de variable

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Matrices d'une application linéaire Ensembles finis et principe des tiroirs Applications linéaires Théorème du rang Théorème de convergence dominée Une série entière est holomorphe Dérivabilité Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes La fonction zêta de Riemann et son prolongement Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques Espaces de Hilbert et théorème de projection Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites, séries et parties compactes de ℂ Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse