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Mines-Ponts MP 2015 — Maths 1

Opérateur de Volterra et équations différentielles · 5 pages

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Le sujet étudie l'opérateur de Volterra $V(f)(x) = \int_0^x f$ et son adjoint $V^*$ , montre que $V^* \circ V$ est symétrique défini positif sur $\mathcal{C}([0, \pi/2])$ et que ses valeurs propres sont les $1/(2n+1)^2$ , avec pour vecteurs propres des cosinus. Il démontre le théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, en déduit que la famille des $\cos(nt)$ est totale, développe $V^* \circ V(f)$ en série trigonométrique, puis résout le problème aux limites $y'' + \lambda y + h = 0$ , $y(\pi/2) = 0$ , $y'(0) = 0$ , avec une alternative de Fredholm lorsque $\lambda = (2p+1)^2$ .

Le sujet, partie par partie

Partie A — Opérateur de Volterra p. 2

Opérateurs et théorie spectrale · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Problèmes aux limites, Sturm-Liouville · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Équations linéaires d'ordre 2 · Réduction des endomorphismes — opérateur de Volterra, adjoint, endomorphisme symétrique défini positif, valeurs propres d'un opérateur intégral, problème aux limites, primitive

Partie B — Théorème d'approximation de Weierstrass p. 3

Théorème de Weierstrass · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Lois de Bernoulli et binomiale · Convergence uniforme et normale · Continuité · Espérance, variance, moments — polynômes de Bernstein, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, loi binomiale, théorème de Heine, convergence uniforme, uniforme continuité

Partie C — Développement de $V^* \circ V(f)$ en série trigonométrique p. 3–4

Projection orthogonale et moindres carrés · Séries de Fourier · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Théorème de Weierstrass · Polynômes de Tchebychev · Convergence uniforme et normale — famille orthonormée, famille totale, projection orthogonale, série en cosinus, noyau intégral, coefficients de Fourier

Partie D — Équations différentielles du type Sturm-Liouville p. 4–5

Problèmes aux limites, Sturm-Liouville · Équations linéaires d'ordre 2 · Séries de Fourier · Convergence uniforme et normale · Opérateurs et théorie spectrale — équation de Sturm-Liouville, problème aux limites, alternative de Fredholm, série normalement convergente, résonance, coefficients dans une base orthonormée

Dans l'édifice

Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de Cauchy-Lipschitz local Théorème de représentation de Riesz Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Espérance, variance et inégalités Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Anneaux de polynômes