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Mines-Ponts PC 2011 — Maths 2

Oscillations linéaires et un théorème ergodique · 5 pages

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Le sujet résout le système $Ax'' = -Kx$ , avec $A$ et $K$ symétriques définies positives, en diagonalisant $A^{-1}K$ , autoadjoint pour le produit scalaire $(Ax|y)$ , et montre la conservation de l'énergie. À l'aide d'un noyau trigonométrique $R_k(t) = c_k ((1 + \cos t)/2)^k$ qui approche l'identité, il démontre, lorsque $\sqrt{\lambda_1}/\sqrt{\lambda_2}$ est irrationnel, que la moyenne temporelle de $f(\theta(t))$ converge vers la moyenne spatiale de $f$ sur le tore (théorème ergodique), et en déduit que la trajectoire de l'oscillateur rencontre tout ouvert du carré.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Oscillations d'un certain système linéaire p. 2–3

Matrices symétriques positives · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Systèmes différentiels linéaires · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Diagonalisation — matrice symétrique définie positive, produit scalaire associé à $A$ , endomorphisme autoadjoint, réduction simultanée, système différentiel du second ordre, conservation de l'énergie, oscillateurs couplés

Partie II — Résultats intermédiaires p. 3

Théorème de Weierstrass · Intégrale sur un segment · Séries de Fourier · Suites numériques — noyau trigonométrique, approximation de l'identité, produit de convolution périodique, polynômes trigonométriques, majoration uniforme

Partie III — Un théorème ergodique p. 4–5

Théorie ergodique · Équirépartition · Intégrales multiples · Théorème de Weierstrass · Compacité · Irrationalité et approximation diophantienne — théorème ergodique, flot linéaire sur le tore, rapport irrationnel, moyenne temporelle et moyenne spatiale, polynômes trigonométriques en deux variables, densité d'une trajectoire, hypothèse ergodique de Boltzmann

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Théorème de représentation de Riesz Matrices d'une application linéaire Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Tribus et tribu borélienne Mesures et premières propriétés La mesure de Lebesgue sur ℝ Fonctions mesurables Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Compacité ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure Un corps ordonné complet est archimédien