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Mines-Ponts PSI 2025 — Maths 2

Modèle SIR pour la propagation d'épidémie et séries de Dirichlet · 9 pages

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Le sujet étudie l'équation différentielle non linéaire $y' + y + 1 = \exp(y)/2$ qui décrit un modèle épidémique SIR. Après une linéarisation, il cherche la solution sous forme de série de Dirichlet (somme de $a_n \exp(-\lambda_n x)$ ), établit la convergence uniforme et la régularité de telles séries, obtient des relations de récurrence sur les moments $b_k = \sum \lambda_n^k a_n$ et une méthode d'approximation par troncature via un système de Vandermonde. Il relie enfin l'équation au système SIR et étudie une version probabiliste discrète de l'épidémie.

Le sujet, partie par partie

Partie I : Linéarisation de $(E)$ p. 2–3

Équations différentielles linéaires · Équations différentielles non linéaires · Continuité · Théorème de Cauchy-Lipschitz — linéarisation, problème de Cauchy, solutions constantes, équation différentielle non linéaire

Partie II : Séries de Dirichlet p. 3–4

Séries de Dirichlet · Convergence uniforme et normale · Interversion des limites · Dérivabilité · Séries numériques — séries de Dirichlet, convergence uniforme, dérivation terme à terme, unicité des coefficients, série d'exponentielles

Partie III : Relations sur les coefficients de la série de Dirichlet p. 4–5

Séries de Dirichlet · Interversion des limites · Équations différentielles non linéaires · Dérivabilité — dérivées successives en $0$ , relation de récurrence sur les moments, coefficients binomiaux, composée avec l'exponentielle, formule de Leibniz

Partie IV : Approximation de la solution $y$ p. 5–6

Convergence uniforme et normale · Matrices remarquables · Déterminants · Analyse numérique · Séries de Dirichlet — troncature d'une série, convergence uniforme, système linéaire, matrice de Vandermonde, majoration de l'erreur

Partie V : Modèle de propagation d'épidémie SIR p. 6–7

Équations différentielles non linéaires · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Convergence uniforme et normale — modèle SIR, système différentiel non linéaire, épidémie, positivité des solutions, unicité de Cauchy-Lipschitz

Partie VI : Modèle probabiliste p. 7–9

Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments · Probabilités totales et formule de Bayes · Marches aléatoires et chaînes de Markov · Coefficients binomiaux — loi binomiale, formule des probabilités totales, espérance conditionnelle, modèle épidémique discret, probabilité d'infection

Dans l'édifice

Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Sommation d'Abel et intégrales impropres La fonction zêta de Riemann et son prolongement Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Dérivabilité Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Théorème du point fixe de Banach Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Martingales et temps d'arrêt Ensembles finis et principe des tiroirs