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X-ENS MP 2013 — Maths C

Équation de Boltzmann simplifiée et théorème H · 5 pages

Le sujet caractérise d'abord les fonctions positives $f$ vérifiant $f(x\cos\theta - y\sin\theta)\, f(x\sin\theta + y\cos\theta) = f(x)\, f(y)$ , qui, sous la seule hypothèse de continuité, sont nulles ou de la forme $C e^{ax^2}$ (via l'équation de Cauchy). Il établit ensuite des lemmes de type Grönwall pour des suites d'inégalités intégrales, qui servent à construire, par un schéma itératif convergeant uniformément, une solution locale d'une équation de type Boltzmann. Il montre enfin la conservation de la masse, puis une version simplifiée du théorème H : l'intégrale de $f \ln f$ décroît, et elle est stationnaire seulement pour une gaussienne (maxwellienne).

Le sujet, partie par partie

Parties I et II — Fonctions invariantes par rotation : cas $\mathcal{C}^1$ et cas continu p. 1–2

Équations fonctionnelles · Calcul différentiel · Équations différentielles linéaires · Densité — équation de Cauchy, fonctions additives, invariance par rotation, gaussienne, dérivée angulaire, prolongement de $\mathbb{N}$ à $\mathbb{Q}$ puis à $\mathbb{R}$

Partie III — Inégalités intégrales p. 2

Équations différentielles non linéaires · Inégalités classiques · Suites numériques · Séries numériques — lemme de Grönwall, inégalité intégrale, récurrence, majoration en puissance sur factorielle

Partie IV — Construction d'une solution par itération p. 3–4

Points fixes et suites itératives · Convergence uniforme et normale · Équations aux dérivées partielles · Équations différentielles linéaires · Intégrales à paramètre · Équations différentielles non linéaires — équation de Boltzmann, schéma itératif de Picard, équation linéaire du premier ordre, positivité de la solution, convergence uniforme, existence locale

Partie V — Conservation de la masse et théorème H p. 4–5

Entropie et théorie de l'information · Intégrales multiples · Loi normale et vecteurs gaussiens · Équations fonctionnelles · Équations aux dérivées partielles — théorème H de Boltzmann, entropie, changement de variables linéaire, décomposition LU $2\times 2$ , maxwellienne, conservation de la masse

Dans l'édifice

Continuité Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Intérieur, adhérence Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit La loi normale