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X-ENS MP 2015 — Maths D

Répartition d'ensembles d'entiers dans les progressions arithmétiques · 8 pages

Le sujet étudie la discrépance d'une partie de $\{1, \dots, N\}$ relativement aux progressions arithmétiques : une moyenne sur toutes les parties montre qu'on peut la rendre inférieure à $C N^{2/3}$ , tandis qu'un argument de Fourier (Parseval, convolution, principe des tiroirs de Dirichlet) montre qu'elle est toujours au moins de l'ordre de $N^{1/4}$ . Il introduit ensuite la fonction de Buchstab $\omega$ , définie par une équation intégrale à retard, montre qu'elle a une limite $L$ autour de laquelle elle oscille, et l'utilise, avec le théorème des nombres premiers admis, pour estimer le nombre $\Phi(x, y)$ d'entiers sans facteur premier inférieur à $y$ . La dernière partie applique la méthode matricielle de Maier pour montrer une irrégularité de la répartition des nombres premiers dans les petits intervalles ou dans les progressions arithmétiques.

Le sujet, partie par partie

Préambule et Partie I — Discrépance moyenne p. 1–2

Dénombrement et combinatoire · Coefficients binomiaux · Congruences et Z/nZ · Inégalités classiques — discrépance, parties d'un ensemble fini, progression arithmétique, moyenne sur les sous-ensembles, somme des $\binom{d}{k}$ , choix d'un paramètre optimal

Partie II — Minoration de la discrépance par analyse de Fourier p. 2–4

Équirépartition · Formule de Parseval · Irrationalité et approximation diophantienne · Séries de Fourier · Transformées de Fourier et de Laplace · Congruences et Z/nZ — polynômes trigonométriques, produit de convolution, égalité de Parseval, principe des tiroirs, approximation diophantienne de Dirichlet, sommes exponentielles, théorème de Roth sur la discrépance

Partie III — Fonction de Buchstab et entiers sans petit facteur premier p. 4–6

Théorie analytique des nombres · Nombres premiers · Comparaison série-intégrale · Intégrale sur un segment · Développements asymptotiques · Séries numériques · Intégrales généralisées et intégrabilité — fonction de Buchstab, théorème des nombres premiers, sommation par parties, équation intégrale à retard, entiers sans petit facteur premier, séries de Bertrand

Partie IV — Méthode matricielle de Maier p. 7–8

Théorie analytique des nombres · Nombres premiers · Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler · Équivalents et comparaison · Congruences et Z/nZ — indicatrice d'Euler, primorielle, méthode de Maier, nombres premiers dans les petits intervalles, nombres premiers en progression arithmétique, théorème de Maier

Dans l'édifice

Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Les anneaux ℤ/nℤ Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Intégrale de Riemann Le système trigonométrique est une base hilbertienne ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure Un corps ordonné complet est archimédien Système trigonométrique et coefficients de Fourier Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Théorie analytique des nombres La fonction zêta de Riemann et son prolongement Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1 Le théorème des nombres premiers Théorème fondamental de l'arithmétique Théorème fondamental de l'analyse Dérivabilité Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites réelles et limites