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X-ENS MP 2019 — Maths C

Convergence faible, transformée de Fourier sur l'espace de Schwartz et lemme div-rot · 8 pages

Le sujet introduit la convergence faible dans un espace préhilbertien, puis l'espace $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$ des fonctions $\mathcal{C}^\infty$ à décroissance rapide ainsi que toutes leurs dérivées. Il montre qu'un endomorphisme de $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$ commutant avec les dérivations et les multiplications par les coordonnées est une homothétie, en déduit la formule d'inversion de Fourier à une constante près et une formule de Plancherel, puis établit un théorème de Rellich et le passage à la limite de $\langle\langle F_n, G_n \rangle\rangle$ pour des suites faiblement convergentes, les $G_n$ étant à support dans un compact fixe, lorsque les $\operatorname{div}(F_n)$ et les $\operatorname{rot}(G_n)$ restent bornés.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Convergence faible p. 3–4

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Normes équivalentes · Intégrale sur un segment · Inégalité de Cauchy-Schwarz — convergence faible, convergence forte, espace préhilbertien, fonctions à décroissance rapide, lemme de Riemann-Lebesgue, intégration par parties

Partie II — L'espace $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d ; \mathbb{C})$ p. 4–5

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Calcul différentiel · Convergence dominée · Intégrales multiples — espace de Schwartz, fonctions à croissance lente, produit tensoriel de fonctions, dérivées partielles, théorème de Fubini

Partie III — Endomorphismes de $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{C})$ commutant avec les opérateurs $\partial_k$ et $\mathrm{M}_k$ p. 5–6

Applications linéaires et rang · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Dérivabilité · Algèbres et sous-algèbres · Calcul différentiel — opérateur de multiplication, opérateur de dérivation, commutant, homothétie, formule de Taylor avec reste intégral, surjection linéaire

Partie IV — La transformée de Fourier sur $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{C})$ p. 6–7

Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre · Intégrales multiples · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels — transformée de Fourier, transformée de Fourier partielle, formule d'inversion, formule de Plancherel, dérivation sous l'intégrale

Partie V — Structure préhilbertienne sur $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{R})$ p. 7–8

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Transformées de Fourier et de Laplace · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Convergence dominée · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Calcul différentiel — théorème de Rellich, convergence faible, fonction plateau, divergence, rotationnel, lemme div-rot

X-ENS MP 2019 — Maths C

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Convergence faible p. 3–4

Partie II — L'espace 𝒮(ℝd;ℂ)\mathcal{S}(\mathbb{R}^d ; \mathbb{C}) p. 4–5

Partie III — Endomorphismes de 𝒮(ℝ2;ℂ)\mathcal{S}(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{C}) commutant avec les opérateurs ∂k\partial_k et Mk\mathrm{M}_k p. 5–6

Partie IV — La transformée de Fourier sur 𝒮(ℝ2;ℂ)\mathcal{S}(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{C}) p. 6–7

Partie V — Structure préhilbertienne sur 𝒮(ℝ2;ℝ)\mathcal{S}(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{R}) p. 7–8

Dans l'édifice

Partie II — L'espace $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d ; \mathbb{C})$ p. 4–5

Partie III — Endomorphismes de $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{C})$ commutant avec les opérateurs $\partial_k$ et $\mathrm{M}_k$ p. 5–6

Partie IV — La transformée de Fourier sur $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{C})$ p. 6–7

Partie V — Structure préhilbertienne sur $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{R})$ p. 7–8