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X-ENS MP 2024 — Maths B

Théorie de Floquet des équations différentielles linéaires périodiques · 7 pages

Le sujet étudie les équations et systèmes différentiels linéaires à coefficients périodiques. Il traite d'abord l'équation de Hill $y'' + qy = 0$ par le wronskien et les multiplicateurs, démontre ensuite une version du théorème d'inversion locale, et s'en sert pour prouver que l'exponentielle de matrices est surjective de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ sur $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ par un argument de connexité. Il en déduit la forme normale de Floquet $M(t) = Q(t)\exp(tB)$ d'une matrice fondamentale, puis étudie la stabilité et l'existence de solutions périodiques.

Le sujet, partie par partie

Notations et Première partie — L'équation $y'' + qy = 0$ à coefficient périodique p. 2–3

Équations linéaires d'ordre 2 · Racines et relations coefficients-racines · Nombres complexes — équation de Hill, wronskien, solutions pseudo-périodiques, multiplicateurs de Floquet, coefficient périodique

Deuxième partie — Un théorème d'inversion locale p. 3–4

Inversion locale et fonctions implicites · Calcul différentiel · Compacité · Normes subordonnées et applications linéaires continues — inégalité des accroissements finis, inversion locale, différentielle injective, minimum atteint sur une boule fermée, homéomorphisme local

Troisième partie — Surjectivité de l'exponentielle sur $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ p. 4–5

Exponentielle de matrices · Connexité · Topologie des espaces de matrices · Polynômes d'endomorphismes · Groupes de matrices · Algèbres et sous-algèbres — exponentielle de matrice, algèbre $\mathbb{C}[A]$ , connexité par arcs, ouvert-fermé, surjectivité de $\exp$ sur $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$

Quatrième partie — Systèmes différentiels linéaires périodiques, forme normale de Floquet p. 5–7

Systèmes différentiels linéaires · Exponentielle de matrices · Nilpotents, Jordan, Dunford · Diagonalisation · Densité · Sous-espaces stables — théorème de Floquet, matrice fondamentale, forme normale, décomposition de Dunford, stabilité asymptotique, solutions périodiques

X-ENS MP 2024 — Maths B

Le sujet, partie par partie

Notations et Première partie — L'équation y′′+qy=0y'' + qy = 0 à coefficient périodique p. 2–3

Deuxième partie — Un théorème d'inversion locale p. 3–4

Troisième partie — Surjectivité de l'exponentielle sur GLn(ℂ)\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) p. 4–5

Quatrième partie — Systèmes différentiels linéaires périodiques, forme normale de Floquet p. 5–7

Dans l'édifice

Notations et Première partie — L'équation $y'' + qy = 0$ à coefficient périodique p. 2–3

Troisième partie — Surjectivité de l'exponentielle sur $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ p. 4–5