AnnalesÉcoles d'ingénieurs

X-ENS PC 2021 — Maths

Normes sup de polynômes, mesure de Mahler et inégalités de produits · 11 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le problème cherche la meilleure constante $\lambda$ telle que $\|Q\|_K \|R\|_K \leqslant \lambda \|QR\|_K$ pour des polynômes complexes, la norme étant le sup sur un compact $K$ . Après l'existence d'une paire extrémale par compacité, il introduit la mesure de Mahler $M(Q)$ , limite de $M_p(Q)^{1/p}$ quand $p$ tend vers $0^+$ , et montre qu'elle vaut $|\lambda|\prod\max(1, |\alpha_i|)$ en fonction des racines (formule de Jensen). Sur le disque unité, il obtient la constante optimale $C^{n+m}$ avec $\ln C = 2G/\pi$ , où $G$ est la constante de Catalan ; sur un segment, il montre que les paires extrémales font intervenir les polynômes de Tchebychev et calcule explicitement la constante.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Norme sup sur un compact et existence de paires extrémales p. 3–4

Compacité · Espaces vectoriels normés · Polynômes · Normes équivalentes — norme infinie sur un compact, polynômes unitaires, borne atteinte, dimension finie, paire extrémale

Partie II — Mesure de Mahler p. 4–6

Intégrales à paramètre · Convergence dominée · Racines et relations coefficients-racines · Séries entières · Nombres complexes — mesure de Mahler, dérivation sous le signe intégrale, théorème de d'Alembert-Gauss, formule de Jensen, développement de $\ln|1-z|$

Partie III — Le cas du disque unité p. 7–9

Racines et relations coefficients-racines · Intégrale sur un segment · Nombres complexes · Analyse complexe · Séries alternées · Polynômes — principe du maximum, formule de la moyenne, racines de l'unité, constante de Catalan, constante optimale, mesure de Mahler

Partie IV — Le cas d'un segment réel p. 9–11

Polynômes de Tchebychev · Racines et relations coefficients-racines · Équations linéaires d'ordre 2 · Polynômes · Extrema et optimisation — polynômes de Tchebychev, paire extrémale, équation différentielle de Tchebychev, entrelacement des racines, constante optimale