AnnalesEnseignement

Agrégation externe 2019 — Mathématiques générales

Entiers cyclotomiques et théorème de Fermat pour $p = 3$ et pour $p$ régulier · 10 pages

Le sujet construit les outils d'arithmétique des corps de nombres utilisés pour deux cas du théorème de Fermat : anneau euclidien $\mathbb{Z}[j]$ , polynômes cyclotomiques (irréductibilité de $\Phi_p$ démontrée, celle de $\Phi_n$ admise), matrices compagnons, entiers algébriques (caractérisation par le polynôme minimal et par les groupes de type fini, structure d'anneau). Pour $K = \mathbb{Q}(\zeta)$ , $\zeta = e^{2i\pi/p}$ , il montre que l'anneau des entiers est $\mathbb{Z}[\zeta]$ , que l'idéal engendré par $\lambda = 1 - \zeta$ est premier de quotient $\mathbb{F}_p$ et que les unités sont les $\zeta^r \varepsilon$ avec $\varepsilon$ réelle (lemme de Kronecker). Il en déduit que $x^3 + y^3 + z^3 = 0$ n'a pas de solution non triviale (descente infinie dans $\mathbb{Z}[j]$ ) puis que $x^p + y^p + z^p = 0$ n'en a pas avec $p \nmid xyz$ lorsque $p > 3$ est régulier.

Le sujet, partie par partie

Définitions et Partie I — Exercices préliminaires p. 3–5

Polynômes cyclotomiques · Anneaux et idéaux · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Racines et relations coefficients-racines · Corps et extensions · Corps finis · Entiers algébriques et équations diophantiennes · Polynômes — division euclidienne dans $\mathbb{Z}[X]$ , anneau $\mathbb{Z}[j]$ , anneau euclidien, norme $N(z)$ , polynômes cyclotomiques, réduction modulo $p$ , matrice compagnon, polynôme caractéristique de $Q(M)$

Partie II — Nombres algébriques p. 5–6

Entiers algébriques et équations diophantiennes · Corps et extensions · Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler · Groupes · Déterminants · Racines et relations coefficients-racines — nombre algébrique, polynôme minimal, degré d'une extension, plongements dans $\mathbb{C}$ , conjugués, entier algébrique, groupe abélien de type fini, indicatrice d'Euler

Partie III — Le corps $\mathbb{Q}(\zeta)$ et son anneau d'entiers p. 6–8

Entiers algébriques et équations diophantiennes · Anneaux et idéaux · Corps et extensions · Polynômes cyclotomiques · Groupes cycliques et ordre · Coefficients binomiaux · Nombres complexes — corps cyclotomique, norme et trace, unités de $\mathbb{Z}[\zeta]$ , lemme de Kronecker, racines de l'unité, idéal premier, anneau des entiers

Partie IV — Le théorème de Fermat pour $p = 3$ p. 8–9

Entiers algébriques et équations diophantiennes · Anneaux et idéaux · Congruences et Z/nZ · PGCD, Bézout, Gauss · Nombres complexes — théorème de Fermat, équation $x^3 + y^3 + z^3 = 0$ , entiers d'Eisenstein, valuation, descente infinie, éléments associés

Partie V — Le théorème de Fermat pour $p$ régulier et $p \nmid xyz$ p. 9–10

Entiers algébriques et équations diophantiennes · Anneaux et idéaux · Congruences et Z/nZ · Polynômes cyclotomiques · Corps et extensions — nombre premier régulier, factorisation en idéaux premiers, idéaux premiers entre eux, idéal principal, premier cas du théorème de Fermat, unités réelles

Agrégation externe 2019 — Mathématiques générales

Le sujet, partie par partie

Définitions et Partie I — Exercices préliminaires p. 3–5

Partie II — Nombres algébriques p. 5–6

Partie III — Le corps ℚ(ζ)\mathbb{Q}(\zeta) et son anneau d'entiers p. 6–8

Partie IV — Le théorème de Fermat pour p=3p = 3 p. 8–9

Partie V — Le théorème de Fermat pour pp régulier et p∤xyzp \nmid xyz p. 9–10

Dans l'édifice

Partie III — Le corps $\mathbb{Q}(\zeta)$ et son anneau d'entiers p. 6–8

Partie IV — Le théorème de Fermat pour $p = 3$ p. 8–9

Partie V — Le théorème de Fermat pour $p$ régulier et $p \nmid xyz$ p. 9–10