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Agrégation interne 2023 — Épreuve 2

Problème de Sturm-Liouville · 13 pages

Le sujet étudie le problème de Sturm-Liouville $-y'' + p y = f$ sur $[0, 1]$ avec les conditions aux limites séparées $a y(0) + b y'(0) = 0$ et $c y(1) + d y'(1) = 0$ . Après des préliminaires sur les équations linéaires d'ordre 2 et le wronskien, il traite l'exemple $-y'' = f$ avec $y(0) = y(1) = 0$ , dont il exprime la solution par un noyau de Green puis par développement sur les fonctions propres $\sqrt{2} \sin(n\pi x)$ , de valeurs propres $n^2\pi^2$ , et le cas $p = -\pi^2$ , où le problème a plusieurs solutions ou aucune selon $f$ . Il montre ensuite que $H_p$ est symétrique, que ses sous-espaces propres sont des droites deux à deux orthogonales et que ses valeurs propres sont minorées, construit lorsque $H_q$ est injectif sa fonction de Green et son inverse $\Phi_q$ , et conclut par une alternative : si $0$ n'est pas valeur propre de $H_p$ , le problème a une unique solution ; sinon il en a une infinité si $f$ est orthogonale à la fonction propre associée à $0$ , et aucune dans le cas contraire.

Le sujet, partie par partie

Notations, présentation et Partie I — Exercices préliminaires p. 5–8

Équations linéaires d'ordre 2 · Équations différentielles linéaires · Systèmes différentiels linéaires · Théorème de Cauchy-Lipschitz — théorème de Cauchy linéaire, wronskien, système fondamental de solutions, espace des solutions de dimension 2, système différentiel équivalent, vrai ou faux

Partie II — Étude d'un exemple d'équation de Sturm-Liouville p. 8–10

Problèmes aux limites, Sturm-Liouville · Équations linéaires d'ordre 2 · Projection orthogonale et moindres carrés · Convergence uniforme et normale · Intégrales à paramètre · Séries de Fourier — problème aux limites, fonction de Green, valeurs propres $n^2\pi^2$ , fonctions propres $\sin(n\pi x)$ , variation des constantes, alternative de Fredholm

Partie III — Une étude spectrale de l'application $H_p$ p. 10–11

Problèmes aux limites, Sturm-Liouville · Opérateurs et théorie spectrale · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Inégalités classiques · Intégrale sur un segment · Équations linéaires d'ordre 2 — opérateur de Sturm-Liouville, opérateur symétrique, sous-espaces propres orthogonaux, sous-espace propre de dimension 1, intégration par parties, minoration des valeurs propres

Partie IV — Fonction de Green p. 11–12

Problèmes aux limites, Sturm-Liouville · Équations linéaires d'ordre 2 · Intégrales à paramètre · Opérateurs et théorie spectrale · Continuité — fonction de Green, noyau intégral, wronskien, système fondamental de solutions, injectivité, continuité d'un noyau

Partie V — Analyse spectrale de l'application $\Phi_q = H_q^{-1}$ p. 12–13

Opérateurs et théorie spectrale · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Problèmes aux limites, Sturm-Liouville · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Espaces vectoriels normés — opérateur intégral, inverse d'un opérateur différentiel, opérateur symétrique, opérateur continu, éléments propres

Partie VI — Solutions de l'équation de Sturm-Liouville $\mathrm{SL}_p(f)$ p. 13

Problèmes aux limites, Sturm-Liouville · Opérateurs et théorie spectrale · Équations linéaires d'ordre 2 · Espaces préhilbertiens et euclidiens — alternative de Fredholm, noyau et image orthogonaux, minoration des valeurs propres, existence et unicité, condition de compatibilité

Dans l'édifice

Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Théorème de Cauchy-Lipschitz local Espaces de Hilbert et théorème de projection Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Théorème de représentation de Riesz Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Normes en dimension finie