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CCINP PC 2016 — Mathématiques

Polynômes de Bernstein · 8 pages

Le sujet étudie les polynômes de Bernstein $p_{k,n}(X) = \binom{n}{k} X^k (1-X)^{n-k}$ sous plusieurs angles : une courbe de Bézier quadratique tangente aux segments $[A(t), B(t)]$ , la diagonalisation de l'endomorphisme $\varphi_n(P) = nXP + X(1-X)P'$ dans la base de Bernstein ( $\varphi_n(p_{k,n}) = k\, p_{k,n}$ ) et l'étude de l'opérateur $B_n$ restreint à $\mathbb{R}_2[X]$ via la loi binomiale. Il démontre par les probabilités la convergence uniforme de $B_n(f)$ vers $f$ pour $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ (majoration en $M_f/(2\sqrt{n})$ ), puis étudie des intégrales (sommes de Riemann, intégrale de $p_{k,n}$ égale à $1/(n+1)$ , intégrale généralisée à paramètre) et, pour $k$ fixé, la série de fonctions $\sum_n p_{k,n}(t)$ , de somme $1/t$ .

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — Géométrie p. 2

Barycentres et courbes de Bézier · Courbes et surfaces · Ensembles convexes — courbe de Bézier quadratique, polynômes de Bernstein, tangente à un arc paramétré, partie convexe, points de contrôle

Partie 2 — Algèbre linéaire et probabilités p. 3–4

Diagonalisation · Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments · Sous-espaces stables · Calcul matriciel · Topologie des espaces de matrices · Polynômes — opérateur de Bernstein, base de Bernstein, endomorphisme induit, espérance et variance de la loi binomiale, limite d'une suite de matrices, matrices semblables

Partie 3 — Analyse et probabilités p. 4–5

Théorème de Weierstrass · Convergence uniforme et normale · Espérance, variance, moments · Lois de Bernoulli et binomiale · Dérivabilité · Inégalité de Cauchy-Schwarz — théorème de Weierstrass, polynômes de Bernstein, inégalité des accroissements finis, fonction lipschitzienne, convergence uniforme

Partie 4 — Intégrales p. 5–6

Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrale sur un segment · Fonctions Gamma et Bêta · Interversion des limites — sommes de Riemann, fonction Bêta, intégration par parties, dérivation sous le signe intégrale, changement de variable

Partie 5 — Séries de fonctions p. 6

Suites et séries de fonctions · Séries entières · Convergence uniforme et normale · Équivalents et comparaison · Coefficients binomiaux — convergence simple, convergence normale, série entière dérivée, équivalent d'un coefficient binomial, somme d'une série de fonctions

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété Théorème de Hahn-Banach Matrices d'une application linéaire Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Applications linéaires Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupe topologique Anneaux de polynômes Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Dérivabilité Espaces de Hilbert et théorème de projection Intégrale de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Une série entière est holomorphe Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites réelles et limites Ensembles finis et principe des tiroirs