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CCINP PSI 2020 — Mathématiques

Autour de la fonction sinus cardinal ; les matrices de Kac · 8 pages

Deux problèmes indépendants. Le premier calcule la transformée de Laplace $F(x)$ de $\sin(t)/t$ , égale à $\pi/2 - \operatorname{Arctan}(x)$ , par dérivation sous l'intégrale, puis utilise une variante de la formule de Viète pour en déduire que $\pi/4$ est limite d'une somme finie, ce qu'il retrouve par une somme de Riemann. Le second étudie les matrices tridiagonales de Kac $A_n$ et $B_n$ : $B_n$ est la matrice de la dérivation sur l'espace engendré par les $\cos^k \sin^{n-k}$ , ce qui montre que $A_n$ est diagonalisable de valeurs propres $2k - n$ ; on en déduit que la loi binomiale $\mathcal{B}(n, 1/2)$ est l'unique loi invariante du modèle des urnes d'Ehrenfest.

Le sujet, partie par partie

Problème 1, Partie I — Transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal p. 2

Intégrales à paramètre · Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales généralisées et intégrabilité · Nombres complexes — sinus cardinal, transformée de Laplace, dérivation sous le signe intégrale, domination, arctangente

Problème 1, Partie II — Autour de la formule de Viète p. 2–3

Produits infinis · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Convergence dominée · Intégrales à paramètre · Suites numériques — formule de Viète, produit de cosinus, linéarisation, somme de Riemann, passage à la limite sous l'intégrale, approximation de $\pi$

Problème 2, Partie I — La dimension 3 p. 4–5

Diagonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Calcul matriciel — matrices de Kac, polynôme caractéristique, diagonalisable sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$ , matrices semblables, matrice diagonale de passage

Problème 2, Partie II — Étude d'un endomorphisme p. 5–6

Diagonalisation · Espaces vectoriels et dimension · Nombres complexes · Coefficients binomiaux · Applications linéaires et rang — endomorphisme de dérivation, famille libre de fonctions, formule du binôme de Newton, exponentielles complexes, sous-espaces propres

Problème 2, Partie III — Les matrices de Kac de taille $n + 1$ p. 6

Diagonalisation · Matrices remarquables · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Coefficients binomiaux — matrice tridiagonale, conjugaison par une matrice diagonale, polynôme caractéristique, valeurs propres entières, vecteur propre binomial

Problème 2, Partie IV — Un peu de probabilités p. 7–8

Chaînes de Markov · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes · Matrices stochastiques et bistochastiques · Espaces probabilisés — modèle d'Ehrenfest, urnes, système complet d'événements, probabilités totales, loi invariante, loi binomiale

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites, séries et parties compactes de ℂ Intégrale de Riemann Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Ensembles finis et principe des tiroirs Applications linéaires Théorème du rang Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles