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CCINP PSI 2021 — Mathématiques

Extremums d'une fonction de deux variables, séries entières $\sum x^n/n^\alpha$ et signe de $\det(I_n + C\overline{C})$ · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Un exercice étudie les points critiques et les extremums de $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ . Le premier problème étudie les séries entières $f_\alpha(x) = \sum x^n/n^\alpha$ : domaine, continuité, lien avec une fonction génératrice, construction d'un logarithme complexe par une équation différentielle ( $\exp(S(z)) = 1 + z$ ), puis un équivalent de $f_\alpha(x)$ quand $x$ tend vers $1$ grâce à la fonction $\Gamma$ . Le second problème montre que $\det(I_n + C\overline{C})$ est un réel positif pour toute matrice complexe $C$ , via des matrices par blocs et un endomorphisme semi-linéaire.

Le sujet, partie par partie

Exercice — Étude d'extremums p. 2

Points critiques et hessienne · Extrema et optimisation — point critique, extremum local, extremum global, coordonnées polaires, $x^3 + y^3 - 3xy$

Problème 1, Partie I — Quelques propriétés des fonctions $f_\alpha$ p. 3

Séries entières · Fonctions génératrices · Convergence uniforme et normale · Séries numériques · Espérance, variance, moments — rayon de convergence, domaine de définition, séries de Riemann, fonction génératrice, espérance, fonction zêta

Problème 1, Partie II — Un logarithme complexe p. 4

Séries entières · Nombres complexes · Équations différentielles linéaires · Dérivabilité — logarithme complexe, développement de $\ln(1 + x)$ , équation différentielle d'ordre 1, exponentielle complexe

Problème 1, Partie III — Un équivalent de $f_\alpha(x)$ quand $x$ tend vers $1$ p. 5

Équivalents et comparaison · Comparaison série-intégrale · Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales généralisées et intégrabilité — fonction Gamma, comparaison série-intégrale, encadrement, équivalent en $1$ , intégrale impropre

Problème 2, Partie I — Trois cas particuliers p. 6

Déterminants · Théorème spectral · Nombres complexes · Diagonalisation — déterminant, matrice conjuguée, matrice symétrique réelle, $\det(I_n + C^2)$ , récurrence sur $n$

Problème 2, Partie II — Le cas général p. 7–8

Matrices par blocs · Sous-espaces stables · Déterminants · Réduction des endomorphismes · Applications linéaires et rang — produit par blocs, matrices semblables, polynôme caractéristique à coefficients réels, application semi-linéaire, sous-espaces caractéristiques, dimension paire

Dans l'édifice

Applications différentiables Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Espérance, variance et inégalités Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Dérivabilité Suites réelles et limites Intégrale de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Espaces de Hilbert et théorème de projection Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Théorème du rang