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CCINP PSI 2025 — Mathématiques

Loi de Poisson, série de Fourier et matrices de Hadamard · 8 pages

Un exercice de probabilités améliore, pour une loi de Poisson, la majoration de Bienaymé-Tchebychev grâce à la fonction génératrice. Le premier problème calcule les coefficients de Fourier d'une fonction en dents de scie et prouve que sa série de Fourier converge vers elle en tout point par un calcul intégral. Le second problème établit l'inégalité arithmético-géométrique puis l'inégalité de Hadamard sur le déterminant, et montre que l'ordre d'une matrice de Hadamard est 1, 2 ou un multiple de 4.

Le sujet, partie par partie

Exercice — Probabilités : majorations pour une loi de Poisson p. 2

Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Inégalités de concentration · Loi de Poisson · Fonctions génératrices · Espérance, variance, moments — loi de Poisson, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de Markov, fonction génératrice, inégalité de Chernoff

Problème 1, Partie I — Calcul des coefficients de Fourier d'une fonction p. 3

Séries de Fourier · Intégrale sur un segment — coefficients de Fourier, fonction $2\pi$ -périodique, fonction en dents de scie, fonction impaire

Problème 1, Partie II — Convergence d'une série de Fourier p. 4–5

Convergence des séries de Fourier · Intégrale sur un segment · Nombres complexes · Séries numériques — série de Fourier, convergence ponctuelle, somme de $\sin(nx)/n$ , série géométrique complexe, arctangente

Problème 2, Partie I — Inégalité arithmético-géométrique p. 5–6

Inégalité arithmético-géométrique · Fonctions convexes — inégalité arithmético-géométrique, $\exp(x) \geqslant 1 + x$ , cas d'égalité

Problème 2, Partie II — Inégalité de Hadamard p. 6–7

Matrices symétriques positives · Déterminants · Théorème spectral · Inégalité arithmético-géométrique · Espaces préhilbertiens et euclidiens — inégalité de Hadamard, matrice symétrique définie positive, déterminant et trace, colonnes orthogonales

Problème 2, Partie III — Matrices de Hadamard p. 7–8

Matrices remarquables · Matrices par blocs · Matrices orthogonales et rotations · Dénombrement et combinatoire · Arithmétique des entiers — matrices de Hadamard, conjecture de Hadamard, matrices par blocs, ordre multiple de 4, matrice orthogonale à un facteur près

Dans l'édifice

Espérance, variance et inégalités Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding Lois de Poisson et loi exponentielle Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Dérivabilité Espaces de Hilbert et théorème de projection Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Théorème de représentation de Riesz Matrices d'une application linéaire Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Division euclidienne PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Théorème fondamental de l'arithmétique