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Centrale-Supélec MP 2021 — Maths 2

Inégalités de Bernstein · 4 pages

La première partie démontre, à l'aide des polynômes de Tchebychev et d'une formule d'interpolation aux racines de $X^{2n} + 1$ , l'inégalité de Bernstein $|f'(\theta)| \leqslant n\|f\|_\infty$ pour un polynôme trigonométrique $f$ de degré $n$ , puis en déduit l'inégalité $\|P'\| \leqslant n^2\|P\|$ sur $[-1, 1]$ pour un polynôme $P$ de degré au plus $n$ , avec égalité pour $T_n$ . La seconde partie introduit la transformée de Fourier, le produit de convolution et une fonction plateau de classe $\mathcal{C}^\infty$ , et établit $\|f'\|_\infty \leqslant C\lambda\|f\|_\infty$ pour une fonction dont la transformée de Fourier est nulle hors de $[-\lambda, \lambda]$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I.A — Polynômes de Tchebychev p. 1

Polynômes de Tchebychev · Polynômes · Espaces vectoriels et dimension — polynômes de Tchebychev, relation $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$ , polynômes trigonométriques, norme uniforme, base de $\mathbb{C}_n[X]$

Partie I.B — Inégalité de Bernstein p. 1–2

Interpolation polynomiale · Racines et relations coefficients-racines · Inégalités classiques · Nombres complexes · Polynômes · Séries de Fourier — interpolation de Lagrange, racines de $X^{2n} + 1$ , polynôme trigonométrique, inégalité de Bernstein, décomposition en éléments simples

Partie I.C — Quelques conséquences de l'inégalité de Bernstein p. 2

Inégalités classiques · Polynômes de Tchebychev · Espaces vectoriels normés — inégalité de Markov pour les polynômes, norme de la dérivée, cas d'égalité, polynômes de Tchebychev

Partie II.A et II.B — Transformée de Fourier et produit de convolution p. 3

Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre · Espaces vectoriels normés · Intégrales généralisées et intégrabilité — transformée de Fourier, produit de convolution, application linéaire continue, dérivation sous le signe intégrale, espace des fonctions intégrables

Partie II.C — Introduction d'une fonction plateau p. 4

Dérivabilité · Intégrale sur un segment — fonction plateau, fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ , fonction $\exp(-1/t)$ , primitive, fonction à support compact

Partie II.D — Inégalités de Bernstein p. 4

Transformées de Fourier et de Laplace · Inégalités classiques · Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité — formule d'inversion de Fourier, transformée de Fourier à support compact, convolution, inégalité de Bernstein

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse