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Centrale-Supélec PC 2025 — Maths 2

Approximation trigonométrique : théorèmes de Jackson et de Bernstein · 6 pages

Le sujet étudie l'approximation uniforme des fonctions continues $2\pi$ -périodiques par des polynômes trigonométriques. À l'aide du module de continuité et d'un noyau de type Jackson, il prouve la convergence uniforme et une vitesse en $\omega(1/n)$ . Il établit ensuite l'inégalité de Bernstein sur la dérivée d'un polynôme via la décomposition en éléments simples, et en déduit qu'une fonction est $\alpha$ -höldérienne si et seulement si sa distance aux polynômes trigonométriques de degré $n$ est un $O(1/n^\alpha)$ .

Le sujet, partie par partie

Partie A — Préliminaires p. 1

Continuité · Séries de Fourier · Intégrale sur un segment · Espaces vectoriels et dimension — module de continuité, fonctions périodiques, uniforme continuité, polynômes trigonométriques, produit de convolution

Partie B — Noyau de Jackson et approximation uniforme par des polynômes trigonométriques p. 2–3

Approximation des fonctions · Séries de Fourier · Intégrale sur un segment · Inégalités classiques · Théorème de Weierstrass — noyau de Jackson, théorème de Jackson, approximation uniforme, polynômes trigonométriques, produit de convolution, théorème de Weierstrass trigonométrique

Partie C — Inégalité de Bernstein p. 3–4

Polynômes · Fractions rationnelles · Nombres complexes · Espaces vectoriels normés · Racines et relations coefficients-racines — inégalité de Bernstein, décomposition en éléments simples, racines de $X^n+1$ , norme sur les polynômes, dérivée d'un polynôme trigonométrique

Partie D — Fonctions höldériennes p. 4–5

Approximation des fonctions · Continuité · Espaces vectoriels normés · Compacité · Inégalités classiques · Séries numériques — fonctions höldériennes, meilleure approximation, théorème de Bernstein, théorème de Jackson, fonction $x \ln x$

Dans l'édifice

Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Anneaux de polynômes Corps des fractions d'un anneau intègre Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Compacité Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives