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e3a-Polytech MP 2017 — Mathématiques

Intégrales et fonction Gamma, endomorphismes antisymétriques, méthode de Newton et extinction, chemins de Manhattan · 12 pages

Sujet (PDF)

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Épreuve en quatre exercices. Le premier obtient par changement de variable et convergence dominée un équivalent de $I_n = \int_0^{\infty} \mathrm{d}t/(1 + t^\alpha)^n$ faisant intervenir $\Gamma(1/\alpha)$ , puis exprime la série entière $\sum I_n x^n$ par une intégrale. Le deuxième montre qu'un automorphisme antisymétrique d'un espace euclidien est en dimension paire, que $u \circ u$ est diagonalisable en base orthonormée à valeurs propres strictement négatives, et réduit $u$ en blocs $2 \times 2$ de la forme $\begin{pmatrix} 0 & -a \\ a & 0 \end{pmatrix}$ . Le troisième étudie la méthode de Newton pour un polynôme de degré 3 (convergence quadratique, programme Python) et l'applique à la probabilité d'extinction d'un processus de Galton-Watson ; le quatrième dénombre les chemins Nord-Est, calcule par le principe de réflexion la probabilité d'un premier passage sur la diagonale à l'étape $2n$ et en donne un équivalent en $N^{-3/2}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Intégrales et fonction Gamma p. 2

Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence dominée · Fonctions Gamma et Bêta · Séries entières · Interversion des limites · Équivalents et comparaison — changement de variable, convergence dominée, fonction Gamma, équivalent d'une intégrale, rayon de convergence, intégration terme à terme

Exercice 2 — Automorphismes antisymétriques d'un espace euclidien p. 3

Théorème spectral · Sous-espaces stables · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Déterminants · Calcul matriciel — endomorphisme antisymétrique, matrice antisymétrique, dimension paire, $u \circ u$ symétrique, plan stable, orthogonal d'un sous-espace stable, réduction en blocs $2 \times 2$

Exercice 3, première partie — Méthode de Newton p. 4

Méthode de Newton · Dérivabilité · Informatique et algorithmique — méthode de Newton, tangente, convergence quadratique, inégalité de Taylor, valeur approchée, Python

Exercice 3, deuxième partie — Probabilité d'extinction p. 5

Processus de branchement et urnes · Fonctions génératrices · Points fixes et suites itératives · Suites numériques — processus de Galton-Watson, fonction génératrice, probabilité d'extinction, suite récurrente, point fixe

Exercice 4 — Trajets d'un piéton à Manhattan p. 6–8

Nombres de Catalan et chemins · Marches aléatoires · Coefficients binomiaux · Comparaison série-intégrale · Équivalents et comparaison · Informatique et algorithmique · Séries numériques — chemins Nord-Est, principe de réflexion, premier retour sur la diagonale, coefficient binomial central, constante d'Euler, équivalent en $N^{-3/2}$ , Python

Dans l'édifice

Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de convergence dominée Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites réelles et limites Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires Théorème de représentation de Riesz Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Matrices d'une application linéaire Théorème du point fixe de Banach Dérivabilité Théorème de définition par récurrence Martingales et temps d'arrêt Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Indépendance d'événements et de tribus Intégrale de Riemann Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives