AnnalesÉcoles d'ingénieurs

e3a-Polytech PC 2014 — Maths 2

Racines de rotations, lemniscate de Bernoulli et problème de Dirichlet dans le demi-plan · 5 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet comporte trois exercices. Le premier calcule les puissances des matrices de rotation $A_\theta$ et en déduit des racines $p$ -ièmes de matrices et d'un endomorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ donné par sa matrice. Le deuxième étudie l'hyperbole $x^2 - y^2 = 1$ et la lemniscate définie par $d(M,F_1)d(M,F_2) = 1$ , leurs images par $z \mapsto z^2$ et l'orthogonalité de leurs tangentes aux points d'intersection. Le troisième construit, pour $f$ $2\pi$ -périodique de classe $\mathcal{C}^1$ , une solution du problème de Dirichlet dans le demi-plan supérieur sous forme de série de Fourier et établit la propriété de la moyenne sur les cercles.

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Puissances et racines de matrices p. 2

Matrices orthogonales et rotations · Diagonalisation · Calcul matriciel · Déterminants · Applications linéaires et rang — matrice de rotation, puissances d'une matrice, racine $p$ -ième d'une matrice, matrice d'un endomorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ , diagonalisable sur $\mathbb{R}$ ou sur $\mathbb{C}$

Exercice II — Hyperbole et lemniscate de Bernoulli p. 3

Coniques et quadriques · Courbes et surfaces · Calcul différentiel · Nombres complexes — hyperbole équilatère, lemniscate de Bernoulli, équation polaire, application $z \mapsto z^2$ , gradient et tangente, courbes orthogonales

Exercice III — Problème de Dirichlet dans le demi-plan p. 4–5

Fonctions harmoniques · Séries de Fourier · Convergence des séries de Fourier · Convergence uniforme et normale · Interversion des limites · Séries entières — problème de Dirichlet, laplacien, propriété de la moyenne, convergence normale de la série de Fourier, coefficients de Fourier, demi-plan supérieur

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Applications linéaires Théorème du rang Espaces vectoriels et sous-espaces Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Dérivabilité complexe Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques