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e3a-Polytech PSI 2013 — Maths 2

Podaires d'une parabole, série et intégrale, familles de Parseval, sous-groupes bornés de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ · 5 pages

Sujet (PDF)

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet comporte quatre exercices indépendants. On étudie d'abord la parabole $x = t^2$ , $y = 2t$ et ses podaires par rapport au foyer $F(1, 0)$ et à l'origine ; on montre ensuite que $f(x)$ , somme des $\frac{1}{1 + (nx)^2}$ , a pour équivalent $\pi/(2x)$ en $0$ et coïncide avec l'intégrale de $\frac{\sin(t)}{e^{xt} - 1}$ sur $\left]0, +\infty\right[$ . Le troisième exercice prouve qu'un espace préhilbertien dans lequel une famille finie vérifie $\|x\|^2 = \sum (x|e_i)^2$ est de dimension finie, et que cette famille en est une base orthonormale dès qu'elle est libre ou que ses vecteurs sont de norme au moins $1$ ; le dernier montre que tout élément d'un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ contenu dans la boule fermée de centre $I_n$ et de rayon $1$ pour une norme subordonnée a pour seule valeur propre $1$ , puis que, pour $n = 2$ , un tel sous-groupe est réduit à $\{I_2\}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Podaires d'une parabole p. 2

Coniques et quadriques · Courbes et surfaces · Géométrie affine et euclidienne — podaire, parabole, foyer, tangente à une courbe paramétrée, projeté orthogonal, point stationnaire, branches infinies

Exercice 2 — Somme d'une série de fonctions et intégrale à paramètre p. 2–3

Convergence uniforme et normale · Comparaison série-intégrale · Intégrales à paramètre · Interversion des limites · Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité — série de fonctions, classe $\mathcal{C}^1$ d'une somme, équivalent en $0$ , intégration terme à terme, encadrement par une intégrale, continuité d'une intégrale à paramètre

Exercice 3 — Familles vérifiant l'identité de Parseval p. 3

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Applications linéaires et rang · Espaces vectoriels et dimension · Calcul matriciel · Projecteurs et trace — identité de polarisation, base orthonormale, matrice de Gram, orthogonal d'un sous-espace, projecteur, dimension finie

Exercice 4 — Sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ contenus dans une boule p. 4–5

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Groupes de matrices · Diagonalisation · Normes équivalentes · Nombres complexes · Trigonalisation — norme subordonnée, sous-groupe de $\mathrm{GL}_n$ , valeurs propres de module $1$ , matrice non diagonalisable, puissances d'une matrice, partie bornée

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Intégrale de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Une série entière est holomorphe Suites réelles et limites Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Applications linéaires Théorème du rang Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Matrices d'une application linéaire Applications linéaires continues et dual topologique Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Normes en dimension finie Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle