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e3a-Polytech PSI 2014 — Maths 2

Exponentielle d'une matrice de rotation, intégrales de $|\sin(mx)|/\sin(x)$ et équations différentielles linéaires par convolution · 8 pages

Sujet (PDF)

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Le sujet comporte trois exercices. Le premier calcule la limite des sommes partielles de l'exponentielle de $\theta A$ , où $A$ est une matrice antisymétrique de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ , et reconnaît une rotation vectorielle. Le deuxième part du développement en série de Fourier de $|\sin x|$ pour exprimer $\rho_m = (2/\pi)\int_0^{\pi/2} |\sin(mx)|/\sin(x)\,\mathrm{d}x$ , comme une série, puis en obtient un équivalent logarithmique via l'étude de $G(u) = \int |\sin t|/t\,\mathrm{d}t$ . Le troisième résout $y^{(n)} = \varphi$ par la formule de Taylor avec reste intégral, puis l'équation linéaire à coefficients constants d'ordre $n$ par un produit de convolution avec la solution fondamentale, appliqué à $y'' + y = \alpha$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Exponentielle d'une matrice de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ p. 2

Exponentielle de matrices · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Matrices orthogonales et rotations · Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Espaces vectoriels et dimension — polynôme annulateur, puissances d'une matrice, sous-espace engendré par les puissances, limite de sommes partielles, rotation vectorielle, symétrie vectorielle

Exercice 2 — Série de Fourier de $|\sin x|$ et équivalent d'une intégrale p. 2–4

Séries de Fourier · Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité · Comparaison série-intégrale · Séries numériques · Convergence des séries de Fourier — série de Fourier de valeur absolue de sinus, somme de la série des $1/(4n^2 - 1)$ , prolongement par continuité, intégrale de $|\sin t|/t$ , équivalent logarithmique, sommes trigonométriques

Exercice 3 — Préliminaires, parties 1 et 2 et application p. 4–6

Équations différentielles linéaires · Intégrales à paramètre · Systèmes différentiels linéaires · Dérivabilité · Équations linéaires d'ordre 2 · Théorème de Cauchy-Lipschitz — formule de Taylor avec reste intégral, dérivation d'une intégrale à bornes variables, produit de convolution, solution fondamentale, système différentiel $X' = AX + B$ , équation $y'' + y = \alpha$

Dans l'édifice

L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Déterminant d'un endomorphisme Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Suites réelles et limites Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Intégrale de Riemann Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Dérivabilité Théorème de Cauchy-Lipschitz local