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e3a-Polytech PSI 2019 — Mathématiques

Quatre exercices : opérateur de moyenne glissante, loi de Poisson, hyperplans de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , suite $u_{n+1} = u_n + u_n^2$ · 5 pages

Sujet (PDF)

Le premier exercice étudie l'endomorphisme $U$ de $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ défini par $U(f)(x) = \int_{x-1}^x f$ : sa restriction aux polynômes, son noyau (fonctions 1-périodiques d'intégrale nulle) et le fait que tout réel $\lambda > 0$ est valeur propre. Le deuxième calcule la loi et l'espérance d'une variable déduite d'une variable de Poisson. Le troisième montre que tout hyperplan de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ contient une matrice inversible et qu'aucun hyperplan n'est stable par produit pour $n \geqslant 3$ ; le quatrième établit que la suite définie par $u_{n+1} = u_n + u_n^2$ est équivalente à $t_n = e^{2^n L}$ , puis que $u_n = t_n + b + o(1)$ pour un réel $b$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — L'opérateur $f \mapsto \int_{x-1}^x f$ p. 2

Applications linéaires et rang · Intégrale sur un segment · Diagonalisation · Polynômes · Dérivabilité — fonction périodique, intégrale fonction de sa borne supérieure, noyau, surjectivité, matrice triangulaire, valeur propre, endomorphisme induit sur $\mathbb{R}_n[X]$

Exercice 2 — Une variable déduite d'une loi de Poisson p. 3

Loi de Poisson · Espérance, variance, moments · Séries entières — loi de Poisson, entier pair, loi d'une variable aléatoire, espérance, cosinus hyperbolique

Exercice 3 — Hyperplans de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ p. 3–4

Calcul matriciel · Dualité · Nilpotents, Jordan, Dunford · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Sous-espaces stables · Algèbres et sous-algèbres · Espaces vectoriels et dimension · Applications linéaires et rang — hyperplan, matrice nilpotente, matrices élémentaires $E_{ij}$ , produit scalaire $\operatorname{tr}(A^\top B)$ , hyperplan stable par produit, matrice inversible, projection

Exercice 4 — Étude de la suite $u_{n+1} = u_n + u_n^2$ p. 4–5

Suites numériques · Développements asymptotiques · Équivalents et comparaison · Séries numériques — suite récurrente, suite croissante, logarithme, série télescopique, développement asymptotique, équivalent

e3a-Polytech PSI 2019 — Mathématiques

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — L'opérateur f↦∫x−1xff \mapsto \int_{x-1}^x f p. 2

Exercice 2 — Une variable déduite d'une loi de Poisson p. 3

Exercice 3 — Hyperplans de ℳn(ℝ)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) p. 3–4

Exercice 4 — Étude de la suite un+1=un+un2u_{n+1} = u_n + u_n^2 p. 4–5

Dans l'édifice

Exercice 1 — L'opérateur $f \mapsto \int_{x-1}^x f$ p. 2

Exercice 3 — Hyperplans de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ p. 3–4

Exercice 4 — Étude de la suite $u_{n+1} = u_n + u_n^2$ p. 4–5