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Mines-Ponts PC 2018 — Maths 2

Fonctions harmoniques · 6 pages

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Le sujet démontre d'abord la convergence de la série de Fourier d'une fonction $2\pi$ -périodique de classe $\mathcal{C}^2$ à l'aide du noyau de Dirichlet et du lemme de Riemann-Lebesgue. Il établit pour une fonction harmonique du plan la propriété de la moyenne via le laplacien en coordonnées polaires, en déduit le principe du maximum et l'unicité pour le problème de Dirichlet sur un carré (avec une solution explicite à variables séparées), puis développe une fonction harmonique sur un disque en série de termes $a_n r^{|n|} e^{int}$ grâce à l'équation d'Euler $r^2v'' + rv' - n^2v = 0$ . Il en tire qu'une fonction harmonique bornée sur $\mathbb{R}^2$ est constante, et enfin une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss.

Le sujet, partie par partie

I — Noyau de Dirichlet p. 2–3

Convergence des séries de Fourier · Intégrale sur un segment · Nombres complexes — noyau de Dirichlet, lemme de Riemann-Lebesgue, coefficients de Fourier, intégration par parties, produit de convolution, convergence normale

II — Coordonnées polaires p. 3–4

Fonctions harmoniques · Calcul différentiel · Intégrales à paramètre · Équations différentielles linéaires — laplacien en coordonnées polaires, fonction harmonique, propriété de la moyenne, dérivation sous l'intégrale, règle de la chaîne

III — Problème de Dirichlet p. 4–5

Fonctions harmoniques · Compacité · Extrema et optimisation · Topologie, compacité, connexité — principe du maximum, problème de Dirichlet, extremum global, séparation des variables, unicité de la solution

IV — Développement en série p. 5–6

Fonctions harmoniques · Équations linéaires d'ordre 2 · Séries de Fourier · Intégrales à paramètre · Séries entières — équation d'Euler, changement de variable $r = e^s$ , coefficients de Fourier, théorème de Liouville pour les fonctions harmoniques, fonction harmonique bornée

V — Théorème de D'Alembert-Gauss p. 6

Racines et relations coefficients-racines · Fonctions harmoniques · Calcul différentiel · Nombres complexes — théorème de d'Alembert-Gauss, polynôme complexe, laplacien, fonction harmonique, comportement à l'infini