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X-ENS MP 2011 — Maths D

Cône nilpotent, endomorphismes réguliers et adhérence des classes de similitude nilpotentes · 6 pages

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Le sujet étudie d'abord le cône nilpotent de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ , image du cône $a^2 + bc = 0$ , ses plans tangents et les composantes connexes de son complémentaire. Il établit ensuite la réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent complexe, la dimension de son commutant, puis des propriétés des endomorphismes réguliers (cycliques) et des couples de nilpotents qui commutent. Après l'étude de l'ordre de dominance sur les partitions et de la partition conjuguée, il démontre que l'adhérence de la classe de similitude $\mathcal{N}_\lambda$ d'une matrice de Jordan nilpotente est la réunion des $\mathcal{N}_\mu$ pour $\mu$ dominée par $\lambda$ .

Le sujet, partie par partie

Notations, question préliminaire et Première partie — Le cône nilpotent de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ p. 1–2

Nilpotents, Jordan, Dunford · Courbes et surfaces · Connexité · Coniques et quadriques · Diagonalisation · Formes bilinéaires et quadratiques — cône nilpotent, matrices de trace nulle, plan tangent, point régulier d'une surface, composantes connexes par arcs, quadrique

Deuxième partie, A — Réduction d'un endomorphisme nilpotent p. 3

Nilpotents, Jordan, Dunford · Sous-espaces stables · Dualité · Matrices par blocs · Algèbres et sous-algèbres — réduction de Jordan, blocs de Jordan, supplémentaire stable, noyaux itérés, dimension du commutant, partition associée

Deuxième partie, B — Outils topologiques p. 4

Topologie des espaces de matrices · Continuité · Déterminants · Normes équivalentes — continuité du polynôme caractéristique, ensemble des nilpotents fermé, matrices de rang au moins $r$ ouvertes, semi-continuité du rang

Deuxième partie, C — Deux endomorphismes qui commutent p. 4–5

Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Polynômes d'endomorphismes · Nilpotents, Jordan, Dunford · Algèbres et sous-algèbres · Anneaux et idéaux · Topologie des espaces de matrices — endomorphisme régulier, vecteur cyclique, polynôme minimal local, commutant, polynômes en un endomorphisme, nilpotents qui commutent

Deuxième partie, D — Partitions p. 5

Partitions et nombres combinatoires · Dénombrement et combinatoire — partition d'un entier, partition conjuguée, diagramme de Young, ordre de dominance, relation d'ordre

Deuxième partie, E — Topologie des classes de similitude p. 6

Topologie des espaces de matrices · Nilpotents, Jordan, Dunford · Partitions et nombres combinatoires · Densité — classe de similitude, adhérence d'une orbite, matrices nilpotentes, ordre de dominance, nilpotent régulier