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X-ENS MP 2017 — Maths D

Dynamique des applications de l'intervalle : plis et entropie · 8 pages

Le sujet étudie l'itération d'applications $f$ d'un intervalle dans lui-même et le nombre de plis $\lambda(f^{\circ n})$ de leurs itérées. Il décrit l'ensemble des points d'orbite bornée de $x \mapsto x^2 + c$ (vide pour $c > 1/4$ , segment pour $c \in [-2, 1/4]$ , compact non vide totalement discontinu pour $c < -2$ ), puis, pour une famille de fractions rationnelles $f_a$ semi-conjuguée à $x \mapsto 2x^2 - 1$ , montre que les points périodiques sont denses pour $a < 3/5$ et ne le sont pas pour $a > 3/5$ . Il définit ensuite l'entropie $h(f) = \lim (1/n) \log \lambda(f^{\circ n})$ par sous-additivité et la calcule pour un cubique (logarithme de la plus grande valeur propre d'une matrice de transition) et pour les applications tentes de pente $p$ ( $h = \log p$ ). Enfin, pour les applications unimodales, il relie la série génératrice des nombres de plis à un invariant de pétrissage $\Delta_f$ (théorie de Milnor-Thurston) et obtient l'entropie $\log((1+\sqrt{5})/2)$ pour $x^2 - 7/4$ .

Le sujet, partie par partie

Notations, question préliminaire et Partie I — Ensemble des orbites bornées de $x^2 + c$ p. 1–3

Suites numériques · Compacité · Topologie, compacité, connexité · Intégrale sur un segment · Connexité — suite récurrente, points fixes, orbite bornée, ensemble de Cantor, ensemble totalement discontinu, préimages itérées, famille quadratique

Partie II — Densité des points périodiques p. 3–4

Convergence uniforme et normale · Densité · Suites numériques · Polynômes de Tchebychev · Dérivabilité · Continuité — points périodiques, polynôme de Tchebychev $x \mapsto 2x^2 - 1$ , semi-conjugaison, conjugaison topologique, convergence uniforme d'une série de fonctions, relevé par $\operatorname{Arccos}$

Partie III — Entropie d'une application monotone par morceaux p. 4–6

Suites numériques · Matrices positives et stochastiques · Réduction des endomorphismes · Polynômes · Rayon spectral — entropie topologique, nombre de plis, suite sous-additive, lemme de Fekete, matrice de transition des intervalles, valeur propre dominante, application tente

Partie IV — Invariant de pétrissage et série des nombres de plis p. 6–8

Séries entières · Fonctions génératrices · Fractions rationnelles · Suites récurrentes linéaires · Suites numériques — application unimodale, théorie de Milnor-Thurston, invariant de pétrissage, rayon de convergence, décomposition en éléments simples, nombre d'or, cycle de période 3